Question

如圖，已知函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù) 的圖象 經(jīng)過點(diǎn)B（0，－1），并且與x軸以及的圖象分別交于點(diǎn)C、D．

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；
(2)在第(1)小題的條件下，在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．
(3)若一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)D始終在第一象限，則系數(shù)k的取值范圍是                    ．（請直接寫出結(jié)果）

Answer 1

（1）；（2）滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)：、、、；（3）.

試題分析：本題考查了一次函數(shù)綜合知識，難度適中，關(guān)鍵是掌握分類討論思想的運(yùn)用．（1）如圖，連接OD，先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出BD的解析式，然后根據(jù)S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△COD即可求解；
（2）求使得以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．分三種情況討論：①當(dāng)DP=DB時(shí)；②當(dāng)BP=DB時(shí)；③當(dāng)PB=PD時(shí)。在三種情況下分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
（3）交點(diǎn)D始終在第一象限，即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x＞0.可由交點(diǎn)得到：kx-1=x+1，解得，由此可得；實(shí)際上本題可直接根據(jù)圖象得出答案．

試題解析：
解：（1）∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)D在y=x+1的圖象上，
∴D（1，2），
∴直線BD的解析式為y=3x-1，
∴A（0，1），C（13，0），
∴
應(yīng)分三種情況討論：如圖，
①當(dāng)DP=DB時(shí)，點(diǎn)D位于BP的垂直平分線上，過點(diǎn)D作DE⊥y軸，則BE=PE
∵B（0，-1），D（1，2），
∴BE=BO+OE=1+2=3
∴PE=3
∴PO=5
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
②當(dāng)BP=DB時(shí)，
∴，
③當(dāng)PB=PD時(shí)，點(diǎn)P位于BD的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)上，設(shè)P（0，a），
則（a+1）²=1+（2-a）²，
解得：
∴
（3）若一次函數(shù)y=kx+b的圖象與函數(shù)y=x+1的圖象的交點(diǎn)D始終在第一象限，則系數(shù)k的取值范圍是：k＞1．