4.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合),過(guò)點(diǎn)E作直線MN∥BC,分別交AB、CD于點(diǎn)M、N,將矩形ADNM沿MN折疊,使得點(diǎn)A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P、Q分別落在AB、CD所在的直線上,若△ACP為等腰三角形,則BM的長(zhǎng)為$\frac{39}{16}$或$\frac{3}{2}$.

分析 分兩種情形①當(dāng)PA=PC時(shí),設(shè)PA=PC=x,在Rt△PBC中,構(gòu)建PC2=BP2+BC2,可得x2=32+(4-x)2,求出x即可解決問(wèn)題.②當(dāng)AP=AC時(shí),AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,可得AP=5,PM=AM=$\frac{5}{2}$,由此即可求出BM.

解答 解:①當(dāng)PA=PC時(shí),設(shè)PA=PC=x,
在Rt△PBC中,∵PC2=BP2+BC2,
∴x2=32+(4-x)2
∴x=$\frac{25}{8}$,
∴PM=AM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{25}{16}$,
∴BM=AB-AM=4-$\frac{25}{16}$=$\frac{39}{16}$
②當(dāng)AP=AC時(shí),
∵AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
∴AP=5,
∴PM=AM=$\frac{5}{2}$,
∴BM=AB=AM=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$,
故答案為$\frac{39}{16}$或$\frac{3}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題,屬于中考?碱}型.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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