Question

如圖，△ABC為等邊三角形，BD=DE，∠BDE=120°，連接CE，F(xiàn)為CE的中點，連接DF并倍長，連接AD、CG、AG．下列結論：
①CG=DE；②若DE∥BC，則△ABH∽△GBD；③在②的條件下，若CE⊥BC，則

AD

BD

=

19

2

．
其中正確的有（　　）

• A、①②③都正確
• B、只有①②正確
• C、只有②③正確
• D、只有①③正確

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：①通過全等三角形的判定定理SAS證得△CFG≌△EFD，然后根據(jù)“全等三角形的對應邊相等”推知CG=DE；
②由全等三角形△ABD≌△ACG（SAS）、等邊△ABC的性質證得△ADG是等邊三角形；然后由平行線DE∥BC、等邊三角形的性質證得△ABH∽△GBD；
③如圖2，作輔助線DQ構建矩形CEDQ．在Rt△BDQ中，由特殊角的三角函數(shù)值求得BD=

2 3

3

x，在Rt△GQD中，由勾股定理求得GD=

57

3

x，然后由等邊△ADG三邊相等的性質將求

AD

BD

的值轉化為求

GD

BD

的值即可．

解答：解：①如圖1，∵點F是EC的中點，
∴CF=EF．
在△CFG和△EFD中，
∵

CF=EF ∠CFG=∠EFD(對頂角相等) GF=DF

，
∴△CFG≌△EFD（SAS），
∴CG=DE．
故本選項正確；

②如圖1，∵DE∥BC，∠BDE=120°，
∴∠GBD=60°（兩直線平行，同旁內角互補）．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ABC+∠GBD=120°，∠ACG=180°-∠ACB=120°，
∴∠ABD=∠ACG．
又∵CG=DE，DB=DE，
∴BD=CG，
在△ABD與△ACG中，
∵

AB=AC ∠ABD=∠ACG BD=CG

，
∴△ABD≌△ACG（SAS），
∴AD=AG，∠BAD=∠CAG，
∴∠DAG=60°，
∴△ADG是等邊三角形，
∴∠ADG=60°，
∴∠BDG=∠BDH+∠ADG=∠BDH+60°，
又∵∠AHB=∠BDH+∠GBD=∠BDH+60°，
∴∠AHB=∠GDB（等量代換），
∴∠ABH=∠GBD，
∴△ABH∽△GBD；
故本選項正確；

③如圖2，過點D作DQ⊥BC于點Q．
∵EC⊥BC，
∴DQ∥CE．
又DE∥BC，
∴四邊形DECQ是矩形，
∴CQ=DE．
∵BD=DE，DE=CG，
∴CQ=CG．
設DQ=x，則在Rt△BDHQ中，由特殊角的三角函數(shù)值求得BD=

2 3

3

x．
在Rt△GQD中，由勾股定理求得GD=

57

3

x，
由②知△ADG是等邊三角形，則AD=GD，
∴

AD

BD

=

GD

BD

=

57 3 x

2 3 3 x

=

19

2

即

AD

BD

=

19

2

；
故本選項正確；
綜上所述，正確的結論是①②③．
故選A．

點評：本題考查了相似綜合題．注意：相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質以及三角形外角定理的綜合運用．