Question

某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).
活動(dòng)情境：
如圖2，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處，F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處，連接BF與EG交于點(diǎn)P．
所得結(jié)論：
當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)：（如圖1）甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論（或結(jié)果）：
甲：△AEF的邊AE=     cm，EF=    cm；
乙：△FDM的周長(zhǎng)為16 cm；
丙：EG=BF.
你的任務(wù)：
小題1:填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù)；
小題2: 寫出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程；
小題3:當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處（如圖2）時(shí)：
① 試問乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，若你認(rèn)為成立，先證明EG=BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF=x）的函數(shù)關(guān)系式，并問當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？最大值是多少？

Answer 1

小題1:AE= 3  cm， EF= 5 cm；設(shè)AE=x，則EF=8－x，AE=4，∠A=90°，，x=3，∴AE="3" cm， EF="5" cm.
小題2:解：如答圖1，∵∠MFE=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴，又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5∴，，，，
∴△FMD的周長(zhǎng)=4++=16.…
小題3:① 乙的結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化
理由：如答圖2，設(shè)AF=x，EF=8－AE，，∴AE=4－，
同上述方法可得△AEF∽△DFM，=x+8，F(xiàn)D=8－x，
則，=16.
② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立
證明：如答圖2，∵B、F關(guān)于GE對(duì)稱，∴BF⊥EG于P，過(guò)G作GK⊥AB于K，∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，∴△AFB≌△KEG，∴FB=GK.由上述可知AE=4－，△AFB≌△KEG，∴AF=EK=x，AK="AE+EK=AF+AE" =4－+x，S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4－+4－+x）=
S =，（0﹤x﹤8）
當(dāng)x=4,即F與AD的中點(diǎn)重合時(shí),，=24.

略