Question

20．如圖，⊙C經(jīng)過原點且與兩坐標軸分別交于點A和點B，點A的坐標為（0，2），D為⊙C在第一象限內(nèi)的一點且∠ODB=60°，解答下列各題：
（1）求線段AB的長及⊙C的半徑；
（2）求B點坐標及圓心C的坐標；
（3）當△OBD的面積最大時，求出點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，只要證明∠OAB=∠ODB=60°，利用直角三角形30度角性質(zhì)即可解決問題．
（2）過C點作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．利用勾股定理求出OB的長，再利用垂徑定理以及三角形中位線定理求出CE、CF即可解決問題．
（3）作DH⊥OB于H，連結(jié)CD，所以當D、C、F三點在同一直線上時，DH最大為3．此時△OBD的面積也最大，由此即可即可解決問題．

解答 解：（1）連接AB．
∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°
∴∠OAB=60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直徑，
∴∠OBA=30°，
∴AB=2OA=4，
∴⊙C的半徑r=2；

（2）過C點作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，
∴OB=2$\sqrt{3}$，
∴B的坐標為：（2$\sqrt{3}$，0）
由垂徑定理得：OE=AE=1，OF=BF=$\sqrt{3}$，
∵AE=EO，AC=CB，
∴EC=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，CF=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴C的坐標為（$\sqrt{3}$，1）．

（3）作DH⊥OB于H，連結(jié)CD，
△OBD的面積=$\frac{1}{2}$OB•DH
因為DH≤CD+CF
所以當D、C、F三點在同一直線上時，DH最大為3．
此時△OBD的面積也最大，
∴點D的坐標為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查圓綜合題、垂徑定理、圓周角定理、坐標與圖象的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形的面積、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題．