Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC邊上的一點(diǎn)，E在線段BD上，且∠AED=45°，連接CE，過A作AG⊥CE交BD于F，過A作AH⊥BD于H，探究FH與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：延長AH交CE于P，根據(jù)ASA證得△ABF≌△APC，證得BF=AP，根據(jù)AAS證得△AHF≌△EHP，得出FH=PH，根據(jù)△AEH是等腰直角三角形，則AH=EH，則BE+EH-FH=AH+HP，從而求得BE=2FH．

解答：答：FH與BE的數(shù)量關(guān)系為：BE=2FH，
證明：延長AH交CE于P，
∵∠ABF+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，
∴∠ABF=∠PAC，
∵AG⊥CE，AH⊥BD，∠EFG=∠AFH，
∴∠FEG=∠FAH，
∵∠FAH+∠AFH=90°，∠FEG+∠EPH=90°，
∴∠AFH=∠EPH，
∴∠AFB=∠APC，
在△ABF與△APC中，

∠ABF=∠PAC AB=AC ∠AFB=∠APC

，
∴△ABF≌△APC（ASA），
∴BF=AP，
∵AH⊥BD，∠AED=45°，
∴AH=EH，
在△AHF與△EHP中，

∠AFH=∠EPH ∠AHF=∠EHP=90° AH=EH

，
∴△AHF≌△EHP（AAS），
∴FH=PH，
∴BE+EH-FH=AH+HP，
∴BE=2FH．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，延長AH交CE于P，構(gòu)建兩組全等的三角形是本題的關(guān)鍵．