Question

12．（1）如圖1，若F點(diǎn)是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F從點(diǎn)B開(kāi)始向右移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)恰好使得以△FBE為等腰三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)F的所有可能的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，-3），直線AE與BC相交于點(diǎn)P，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并判斷直線AE與BC的位置關(guān)系，試證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)G、H分別是射線PC、PE上的點(diǎn)，問(wèn)是否存在以P、G、H為頂點(diǎn)的三角形與△PEB全等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分三種情況討論：當(dāng)EB=EF時(shí)，當(dāng)BE=BF時(shí)，當(dāng)FB=FE時(shí)，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得點(diǎn)F的所有可能的坐標(biāo)；
（2）過(guò)C作CJ⊥AB于J，根據(jù)C（2，-3），B（-1，0），A（3，0），E（0，-3），得出△AOE、△BJC都是等腰直角三角形，進(jìn)而得到∠OAE=∠JBC=45°，即可得出直線AE與BC的位置關(guān)系；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論，畫(huà)出圖形，可得存在G（0，-3），H（3，-4）或G（2，-3），H（-1，-4）使△PEB與△PGH全等．

解答 解：（1）分三種情況：
①如圖所示，當(dāng)EB=EF時(shí)，BO=FO=1，

∴F（1，0）；
②如圖所示，當(dāng)BE=BF時(shí)，

∵Rt△BOE中，BE=$\sqrt{10}$，
∴OF=BF-BO=$\sqrt{10}$-1，
∴F（$\sqrt{10}$-1，0）；
③當(dāng)FB=FE時(shí)，設(shè)OF=x，則BF=x+1，

Rt△EOF中，EF=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
∴x+1=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
解得x=4，
∴F（4，0）；

（2）如圖所示，直線AE與BC的位置關(guān)系：AE⊥BC．

證明：過(guò)C作CJ⊥AB于J，
∵C（2，-3），B（-1，0），A（3，0），E（0，-3），
∴BJ=CJ=3，AO=EO=3，
∴△AOE、△BJC都是等腰直角三角形，
∴∠OAE=∠JBC=45°，
∴△ABP中，∠APB=90°，
∴AE⊥BC；

（3）存在以P、G、H為頂點(diǎn)的三角形與△PEB全等．

分兩種情況：
①如圖所示，當(dāng)△PEB≌△PG₁H₁時(shí)，PG₁=PE，PH₁=PB，
此時(shí)G₁（0，-3），H₁（3，-4）；
②如圖所示，當(dāng)△PEB≌△PG₂H₂時(shí)，PG₂=PE，PH₂=PB，
此時(shí)G₂（2，-3），H₂（-1，-4）；
綜上所述，存在G（0，-3），H（3，-4）或G（2，-3），H（-1，-4）使△PEB與△PGH全等．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，畫(huà)出相應(yīng)的圖形進(jìn)行分析．解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．