Question

如圖，點D為線段AB上一點，且AD²=BD•AB，我們說點D是線段AB的黃金分割點，為了探求AD與AB的關(guān)系，把BD=AB-AD代入得AD²=（AB-AD）•AB，整理得AD²+AB•AD-AB²=0，利用求根公式并舍去負(fù)值得AD=

5 -1

2

AB≈0.618AB，數(shù)學(xué)上把

5 -1

2

稱為黃金數(shù)．
（1）如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為高，BC=AD
①點D是AB的黃金分割點嗎？

 

（填“是”或“不是”）
②sinA=

 

．
（2）定義：我們把五個元素分別相等的兩個不全等三角形稱為一對奇異三角形．顯然奇異三角形相等的元素只能是三個角和兩條邊，且任一對對應(yīng)邊不可能相等，這對三角形也不可能是等腰的．
①上圖中Rt△ADC與Rt△ABC是否是一對奇異三角形

 

（填“是”或“不是”）
②請你構(gòu)造出一對奇異三角形（只要寫出每個三角形的三條邊即可）．

Answer 1

考點：相似形綜合題,黃金分割

專題：

分析：（1）①證明△ABC∽△CBD，即可證得AD²=BC²=AB•BD，從而證得；
②設(shè)AB=1，則AD=BC=

5 -1

2

，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解；
（2）①根據(jù)奇異三角形的定義即可作出判斷；
②根據(jù)①的結(jié)論，設(shè)AB的一個長度，根據(jù)D是黃金分割點即可求得AD，即BC的長度，利用①的結(jié)論即可求解．（答案不唯一）．

解答：解：（1）①∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為高，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

BC

=

BC

BD

，
∴BC²=AB•BD，
∵BC=AD
∴AD²=AB•BD，故D是AB的黃金分割點．
故答案是：是；
②設(shè)AB=1，則AD=BC=

5 -1

2

，
故sinA=

BC

AB

=

5 -1

2

．
故答案是：

5 -1

2

；

（2）①Rt△ADC與Rt△ABC中 三個角對應(yīng)相等，且AC=AC，AD=BC，則兩個三角形是奇異三角形．
故答案是：是；
②一個三角形的三邊長是2，

5

-1，

2 5 -2

；另一個三角形的三邊長是：

5

-1，

2 5 -2

，

4 5 -7

．（答案不唯一）．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題目中的兩個定義是關(guān)鍵．