唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題--將軍飲馬問題:
如圖1所示,詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā),走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短?
做法如下:如圖1,從B出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AD的延長線上,取B關(guān)于河岸的對稱點B′,連接AB′,與河岸線相交于P,則P點就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線走到P,飲馬之后,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發(fā)現(xiàn)
再如圖2,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點E、F是底邊AD與BC的中點,連接EF,在線段EF上找一點P,使BP+AP最短.
作點B關(guān)于EF的對稱點,恰好與點C重合,連接AC交EF于一點,則這點就是所求的點P,故BP+AP的最小值為______.
(2)實踐運用
如圖3,已知⊙O的直徑MN=1,點A在圓上,且∠AMN的度數(shù)為30°,點B是弧AN的中點,點P在直徑MN上運動,求BP+AP的最小值.
(3)拓展遷移
如圖4,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M,使△ACM周長最小,請求出此時點M的坐標與△ACM周長最小值.(結(jié)果保留根號)
(1)在等腰梯形ABCD中,∵ADBC,且∠BAD=∠D=120°,
∴∠ABC=60°;
在△ADC中,AD=CD=2,∠D=120°,所以∠DAC=∠DCA=30°;
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=120°-30°=90°,即△BAC為直角三角形;
在Rt△BAC中,∠ABC=60°,∠BCA=90°-60°=30°,AB=2,所以AC=AB•tan60°=2
3
;
由于B、C關(guān)于直線EF對稱,根據(jù)閱讀資料可知BP+AP的最小值為線段AC的長,即2
3


(2)如圖(2),作點A關(guān)于直徑MN的對稱點C,連接BC,則BC與直徑MN的交點為符合條件的點P,BC的長為BP+AP的最小值;
連接OA,則∠AON=2∠AMN=60°;
∵點B是
AN
的中點,
∴∠BON=
1
2
∠AON=30°;
∵A、C關(guān)于直徑MN對稱,
CN
=
AN
,則∠CON=∠AON=60°;
∴∠BOC=∠BON+∠CON=90°,又OC=OB=
1
2
MN=
1
2

在等腰Rt△BOC中,BC=
2
OB=
2
2
;
即:BP+AP的最小值為
2
2


(3)①依題意,有:
b
-2a
=1
a-b+c=0
c=-3
,解得
a=1
b=-2
c=-3

∴拋物線的解析式:y=x2-2x-3;
②取點C關(guān)于拋物線對稱軸x=1的對稱點D,根據(jù)拋物線的對稱性,得:D(2,-3);
連接AD,交拋物線的對稱軸于點M,如圖(3)-②;
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,代入A(-1,0)、D(2,-3),得:
-k+b=0
2k+b=-3
,解得
k=-1
b=-1

∴直線AD:y=-x-1,M(1,-2);
∴△ACM的周長最小值:lmin=AC+AD=
10
+3
2
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標系中,點A的坐標為(-2
3
,0),⊙P剛好與x軸相切于點A,⊙P交y的正半軸于點B,點C,且BC=4.
(1)求半徑PA的長;
(2)求證:四邊形CAPB為菱形;
(3)有一開口向下的拋物線過O,A兩點,當它的頂點不在直線AB的上方時,求函數(shù)表達式的二次項系數(shù)a的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

拋物線y1=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,對稱軸為直線x=1,且A、C兩點的坐標分別為A(-1,0)、C(0,-3).
(1)求拋物線y1=ax2+bx+c和直線BC:y2=mx+n的解析式;
(2)當y1•y2≥0時,直接寫出x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,設(shè)拋物線C1:y=a(x+1)2-5,C2:y=-a(x-1)2+5,C1與C2的交點為A,B,點A的坐標是(2,4),點B的橫坐標是-2.
(1)求a的值及點B的坐標;
(2)點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG.記過C2頂點M的直線為l,且l與x軸交于點N.
①若l過△DHG的頂點G,點D的坐標為(1,2),求點N的橫坐標;
②若l與△DHG的邊DG相交,求點N的橫坐標的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,直線y=-
1
2
x+b(b>0)
分別交x軸,y軸于A,B兩點,以O(shè)A,OB為邊作矩形OACB,D為BC的中點.以M(4,0),N(8,0)為斜邊端點作等腰直角三角形PMN,點P在第一象限,設(shè)矩形OACB與△PMN重疊部分的面積為S.
(1)求點P的坐標.
(2)若點P關(guān)于x軸的對稱點為P′,試求經(jīng)過M、N、P′三點的拋物線的解析式.
(3)當b值由小到大變化時,求S與b的函數(shù)關(guān)系式.
(4)若在直線y=-
1
2
x+b(b>0)
上存在點Q,使∠OQM等于90°,請直接寫出b的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線的對稱軸是直線x=2,頂點A的縱坐標為1,點B(4,0)在此拋物線上.

(1)求此拋物線的解析式;
(2)若此拋物線對稱軸與x軸交點為C,點D(x,y)為拋物線上一動點,過點D作直線y=2的垂線,垂足為E.
①用含y的代數(shù)式表示CD2,并猜想CD2與DE2之間的數(shù)量關(guān)系,請給出證明;
②在此拋物線上是否存在點D,使∠EDC=120°?如果存在,請直接寫出D點坐標;如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,有一座拋物線形的拱橋,橋下面處在目前的水位時,水面寬AB=10m,如果水位上升2m,就將達到警戒線CD,這時水面的寬為8m.若洪水到來,水位以每小時0.1m速度上升,經(jīng)過多少小時會達到拱頂?

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,?ABCO的頂點O在原點,點A的坐標為(-2,0),點B的坐標為(0,2),點C在第一象限.
(1)直接寫出點C的坐標;
(2)將?ABCO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),使OC落在y軸的正半軸上,如圖②,得□DEFG(點D與點O重合).FG與邊AB、x軸分別交于點Q、點P.設(shè)此時旋轉(zhuǎn)前后兩個平行四邊形重疊部分的面積為S0,求S0的值;
(3)若將(2)中得到的?DEFG沿x軸正方向平移,在移動的過程中,設(shè)動點D的坐標為(t,0),?DEFG與?ABCO重疊部分的面積為S.寫出S與t(0<t≤2)的函數(shù)關(guān)系式.(直接寫出結(jié)果)

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

大潤發(fā)超市進了一批成本為8元/個的文具盒.調(diào)查發(fā)現(xiàn):這種文具盒每個星期的銷售量y(個)與它的定價x(元/個)的關(guān)系如圖所示:
(1)求這種文具盒每個星期的銷售量y(個)與它的定價x(元/個)之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出自變量x的取值范圍);
(2)每個文具盒定價是多少元時,超市每星期銷售這種文具盒(不考慮其他因素)可獲得的利潤最高?最高利潤是多少?

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