Question

證明：在2¹-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1這n-1個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)數(shù)能被n整除（其中n為大于1的奇數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：抽屜原理,數(shù)的整除性

專題：證明題

分析：用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明．從特殊到一般，當(dāng)n=2，易得出成立，再假設(shè)n=k時(shí)成立，從而證明出n=k+1時(shí)也成立，結(jié)論得證．

解答：證明：用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明．
（1）當(dāng)n=2時(shí)成立．
（2）假設(shè)，當(dāng)n=k時(shí)，成立．
（3）證明：當(dāng)n=k+1時(shí)也成立． 
（31）2n-1個(gè)互不相同的整數(shù)中n個(gè)整數(shù)的和，有C（n，2n-1）種互不相同的可能性． 
（32）這C（n，2n-1）種互不相同的可能性，落在[0，（2n-1）•n]區(qū)間內(nèi)．在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，不能被n整除的整數(shù)個(gè)數(shù)是（2n-1）•（n-1）個(gè)． 
（33）證明C（n，2n-1）＞（2n-1）•（n-1）． 
（34）原命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽屜原理以及整除問(wèn)題，是一道競(jìng)賽題目，難度較大．