Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于F．切點(diǎn)為G，連接AG交CD于K．
（1）如圖1，求證：KE=GE；
（2）如圖2，若AC∥EF，試判斷線段KG、KD、GE間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若sinE=$\frac{3}{5}$，AK=2$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OG．根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據(jù)等角對(duì)等邊得到KE=GE；
（2）如圖2，根據(jù)平行得角相等，證明△GKD∽△EFG，列比例式可得結(jié)論；
（3）如圖3所示，連接OG，OC，由（1）得KE=GE，根據(jù)sinE=$\frac{3}{5}$設(shè)AH=3t，則AC=5t，CH=4t，列式先求t的值，再求出圓的半徑．

解答 解：（1）如圖1，連接OG．
∵EG為切線，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
（2）KG²=KD•GE，理由是：
連接GD，如圖2，
∵AC∥EF，
∴∠C=∠E，
∵∠C=∠AGD，
∴∠E=∠AGD，
∵∠GKD=∠GKD，
∴△GKD∽△EKG，
∴$\frac{GK}{EK}=\frac{KD}{KG}$，
∴KG²=KD•EK，
由（1）得：EK=GE，
∴KG²=KD•GE； 
（3）連接OG，OC，如圖3所示，
由（1）得：KE=GE．
∵AC∥EF
∴∠E=∠ACH
∵sinE=sin∠ACH=$\frac{3}{5}$，
設(shè)AH=3t，則AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，
∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根據(jù)勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=$（2\sqrt{3}）^{2}$，解得t=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
設(shè)⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，解得r=$\frac{25}{6}$t=$\frac{5\sqrt{30}}{6}$，
答：⊙O的半徑為$\frac{5\sqrt{30}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．