Question

20．如圖1，在直角坐標系中，拋物線C：y=$\frac{1}{2}$（x-3）²+3與直線y=kx+b（k≠0）相交于M、N兩點，點P（3，t）是x軸下方一點，且直線x=3平分∠MPN
（1）探究與猜想：當t=-1時
①探究：取點M（1，5）時，點N的坐標為（7，11），直接寫出直線MN的解析式y(tǒng)=x=4；
取點（6，$\frac{15}{2}$），直接寫出直線MN的解析式為y=$\frac{1}{6}$x+$\frac{13}{2}$；
②猜想：對于P（3，t），我們猜想直線MN必經(jīng)過一個定點Q，其坐標為（3，6-t），并證明你的猜想；
（2）應用 如圖2，當t=-3時，直線MN經(jīng)過原點，在拋物線上存在一點E，使S_△EMN=$\frac{1}{2}$S_△PMN，并直接寫出所有符合條件的E點的坐標．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)點M、N的坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
②猜想Q（3，6-t）．設直線MN的解析式：y=kx+b（k≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$得x²-（2k+6）x+15-2b=0可得x_M+x_N=2k+6，x_M•x_N=15-2b，由tan∠MPQ=tan∠NPQ，得$\frac{3-{x}_{M}}{{y}_{M}-t}$=$\frac{{x}_{N}-3}{{y}_{N}-t}$，化簡得12k-2kb-2kt-6k²=0，因為k≠0所以6-b-t-3k=0，所以b=6-t-3k，所以y=kx+6-t-3k=k（x-3）+6-t，由此即可判定過定點Q（3，6-t）．
（2）由題意，Q（3，9），直線MN經(jīng)過（0，0），Q（3，9），可得直線MN的解析式為y=3x，過P作PG∥MN交y軸于G，則直線PG的解析式為y=3x-12，
取OG的中點F（0，-6），H（0，6），過點F作MN的平行線交拋物線于E₁、E₂，此時△EMN的面積=$\frac{1}{2}$△PMN的面積，直線EF解析式為y=3x-6，由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$解方程組可得點E₁、E₂，的坐標，同法可得E₃、E₄的坐標．

解答 解：（1）①設直線MN的解析式為y=kx+b，
把M（1，5），N（7，11）的坐標代入得到$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{7k+b=11}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線MN的解析式為y=x+4．
故答案為y=x+4．
∵直線x=3平分∠MPN，
∴點（6，$\frac{15}{2}$）關于直線x=3的對稱點在拋物線上，
即（0，$\frac{15}{2}$）在拋物線上，直線AP經(jīng)過點（0，$\frac{15}{2}$），
∴直線PM的解析式為y=-$\frac{17}{6}$x+$\frac{15}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{17}{6}x+\frac{15}{2}}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{59}{9}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{1}{3}$，$\frac{59}{9}$），N（6，$\frac{15}{2}$），
∴直線MN的解析式為y=$\frac{1}{6}$x+$\frac{13}{2}$．
故答案為y=$\frac{1}{6}$x+$\frac{13}{2}$．

②猜想Q（3，6-t）．理由如下，
證明：設直線MN的解析式：y=kx+b，（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$得x²-（2k+6）x+15-2b=0
∴x_M+x_N=2k+6，x_M•x_N=15-2b，
由tan∠MPQ=tan∠NPQ，得
$\frac{3-{x}_{M}}{{y}_{M}-t}$=$\frac{{x}_{N}-3}{{y}_{N}-t}$，化簡得12k-2kb-2kt-6k²=0，
∵k≠0
∴6-b-t-3k=0，
∴b=6-t-3k，
∴y=kx+6-t-3k=k（x-3）+6-t，
∴Q（3，6-t）．
故答案為（3，6-t）．

（2）如圖2中，

由題意，Q（3，9），直線MN經(jīng)過（0，0），Q（3，9），
∴直線MN的解析式為y=3x，
過P作PG∥MN交y軸于G，則直線PG的解析式為y=3x-12，
取OG的中點F（0，-6），H（0，6），
過點F作MN的平行線交拋物線于E₁、E₂，此時△EMN的面積=$\frac{1}{2}$△PMN的面積，
直線EF解析式為y=3x-6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=21}\end{array}\right.$，
∴E₁（9，21），E₂（3，3），
過點H作MN的平行線，與拋物線交于點E₃、E₄，此時此時△EMN的面積=$\frac{1}{2}$△PMN的面積，
直線EH的解析式為y=3x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）^{2}+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6-\sqrt{33}}\\{y=24-3\sqrt{33}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6+\sqrt{33}}\\{y=24+3\sqrt{33}}\end{array}\right.$，
∴E₃（6+$\sqrt{33}$，24+3$\sqrt{33}$），E₄（6-$\sqrt{33}$，24-3$\sqrt{33}$），
綜上所述，滿足條件的點E的坐標為（9，21）或（3，3）或（6+$\sqrt{33}$，24+3$\sqrt{33}$）或（6-$\sqrt{33}$，24-3$\sqrt{33}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、直線過定點問題、三角形的面積問題、兩直線平行的條件等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決問題，靈活運用所學知識，學會利用平行線解決面積問題，把問題轉(zhuǎn)化為解方程組求交點坐標，屬于中考壓軸題．