Question

△ABC中，∠A=90°，∠A的平分線AD交BC于D，DB=3，DC=4，則△ABC內(nèi)切圓的直徑是（　�。�

• A、

  7

  5

• B、

  14

  5

• C、

  16

  5

• D、

  84

  25

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，得出四邊形DEAF是矩形，推出AE=ED，得出四邊形DEAF是正方形，推出DE=AE=AF=DF，設(shè)DE=AE=AF=DF=a，根據(jù)△BED∽△DFC，求出BE=

3

4

a，CF=

4

3

a，在Rt△BAC中，由勾股定理得出（a+

3

4

a）²+（a+

4

3

a）²=（3+4）²，求出a=

12

5

，求出AB=

21

5

，AC=

28

5

，設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑是R，根據(jù)S_△ABC=S_△AOC+S_△ABO+S_△BCO，得出

21

5

×

28

5

=

28

5

R+

21

5

R+7R，求出R即可．

解答：
解：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAC=∠DFA=90°，
∴四邊形DEAF是矩形，
∴DE∥AC，DE=AF，
∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，
即四邊形DEAF是正方形，
∴DE=AE=AF=DF，
設(shè)DE=AE=AF=DF=a，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE，
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴△BED∽△DFC，
∴

BE

DF

=

DE

CF

=

BD

DC

，
∴

BE

a

=

a

CF

=

3

4

，
∴BE=

3

4

a，CF=

4

3

a，
在Rt△BAC中，由勾股定理得：AB²+AC²=BC²，
即（a+

3

4

a）²+（a+

4

3

a）²=（3+4）²，
a=

12

5

，
則AB=

21

5

，AC=

28

5

，
設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑是R，
∵S_△ABC=S_△AOC+S_△ABO+S_△BCO，
∴

1

2

AC×AB=

1

2

AC×R+

1

2

BC×R+

1

2

AB×R，
∴

21

5

×

28

5

=

28

5

R+

21

5

R+7R，
R=

7

5

，
即直角三角形ABC的內(nèi)切圓的直徑是

14

5

，
故選B．

點評：本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)切圓，三角形的面積，勾股定理等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度．