Question

用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．
例如：因為3a²≥0，所以3a²+1就有最小值1，即3a²+1≥1，只有當a=0時，才能得到這個式子的最小值1．同樣，因為-3a²≤0，所以-3a²+1有最大值1，即-3a²+1≤1，只有在a=0時，才能得到這個式子的最大值1；同樣對于2x²+4x+3=2（x²+2x）+3=2（x²+2x+1）+3-2=2（x+1）²+1，當x=-1時代數(shù)式2x²+4x+3有最小值1．
（1）填空：a．當x=

 

時，代數(shù)式（x-1）²+3 有最

 

（填寫大或�。┲禐�

 

．
b．當x=

 

時，代數(shù)式-2x²+4x+3有最

 

（填寫大或�。┲禐�

 

．
（2）運用：
a．證明：不論x為何值，代數(shù)式3x²-6x+4的值恒大于0；
b．矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長度是8m，當花園與墻相鄰的邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

考點：配方法的應用

專題：應用題

分析：（1）由完全平方式的最小值為0，得到x=1時代數(shù)式（x-1）²+3有最小值為3；同理將代數(shù)式-2x²+4x+3前兩項提取-2，配方后，即可得到代數(shù)式取得最大值時x的值，及最大值；
（2）a、將代數(shù)式前兩項提取3，配方后，根據(jù)完全平方式大于等于0，求出代數(shù)式的最小值為1，恒大于0，得證；
b、設當花園與墻相鄰的邊長為xm，由總長度為8m，表示出平行于墻的邊長，利用矩形的面積等于長乘以寬表示出面積，整理后配方，利用完全平方式大于等于0，求出面積最大時x的值及此時的面積即可．

解答：解：（1）∵（x-1）²≥0，
∴當x=1時，代數(shù)式（x-1）²+3有最小值為3；
代數(shù)式-2x²+4x+3=-2（x²-2x+1）+5=-2（x-1）²+5，
當x=1時，（x-1）²≥0，故代數(shù)式-2x²+4x+3有最大值為5；
故答案為：（1）1；��；3；1；大；5；
（2）a、證明：∵（x-1）²≥0，
∴3x²-6x+4=3（x²-2x+1）+1=3（x-1）²+1≥1＞0，
則不論x為何值，代數(shù)式3x²-6x+4的值恒大于0；
b、設當花園與墻相鄰的邊長為xm，則平行于墻的邊長為（8-2x）m，
∴矩形花園的面積S=x（8-2x）=-2x²+8x=-2（x²-4x+4）+8=-2（x-2）²+8，
當x-2=0，即x=2時，（x-2）²=0，此時S取得最大值8，
則當當花園與墻相鄰的邊長為2m，矩形花園面積最大，最大面積為8m²．

點評：此題考查了配方法的應用，弄清題意，靈活運用完全平方公式是解本題的關鍵．