Question

（2013•桂林）已知拋物線的頂點為（0，4）且與x軸交于（-2，0），（2，0）．

（1）直接寫出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設(shè)平移后拋物線的頂點為D，與x軸的交點為A、B，與原拋物線的交點為P．
①當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時，求此時k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的頂點為（0，4），可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+4，再將點（2，0）代入，求出a=-1，即可得到拋物線解析式為y=-x²+4；
（2）①連接CE，CD，先根據(jù)切線的性質(zhì)得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后解Rt△CDO，得出OC=

4 3

3

，則k=OC=

4 3

3

；
②設(shè)拋物線y=-x²+4向右平移k個單位后的解析式是y=-（x-k）²+4，它與y=-x²+4交于點P，先求出交點P的坐標(biāo)是（

k

2

，-

1

4

k²+4），再利用待定系數(shù)法求出直線OD的解析式為y=

4

k

x，然后將點P的坐標(biāo)代入y=

4

k

x，即可求出k的值．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點為（0，4），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+4，
又∵拋物線過點（2，0），
∴0=4a+4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+4；

（2）①如圖，連接CE，CD．
∵OD是⊙C的切線，∴CE⊥OD．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°，
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=

4 3

3

，
∴當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切時，k=OC=

4 3

3

；

②存在k=2

2

，能夠使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上．理由如下：
設(shè)拋物線y=-x²+4向右平移k個單位后的解析式是y=-（x-k）²+4，它與y=-x²+4交于點P，
由-（x-k）²+4=-x²+4，解得x₁=

k

2

，x₂=0（不合題意舍去），
當(dāng)x=

k

2

時，y=-

1

4

k²+4，
∴點P的坐標(biāo)是（

k

2

，-

1

4

k²+4）．
設(shè)直線OD的解析式為y=mx，把D（k，4）代入，
得mk=4，解得m=

4

k

，
∴直線OD的解析式為y=

4

k

x，
若點P（

k

2

，-

1

4

k²+4）在直線y=

4

k

x上，得-

1

4

k²+4=

4

k

•

k

2

，
解得k=±2

2

（負(fù)值舍去），
∴當(dāng)k=2

2

時，O、P、D三點在同一條直線上．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，拋物線平移的規(guī)律，直線與圓相切，解直角三角形，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，三點共線的條件，綜合性較強(qiáng)，難度中等．其中（2）②除了可以將點P的坐標(biāo)（

k

2

，-

1

4

k²+4）代入直線OD的解析式，建立關(guān)于k的方程外，還可以利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解．