(2013•桂林模擬)已知:拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(1,0)、B(0,5).
(1)求拋物線的解析式.
(2)設(shè)(1)中拋物線與x軸的另一交點為C,拋物線的頂點為D,試求△BCD的面積.
(3)將拋物線及△BCD同時向右平移a(0<a<5)個單位,那么△BCD將會被y軸分為兩部分,如果被y軸截得的三角形面積等于△BCD面積的
15
,求此時拋物線的解析式.
分析:(1)將點A、點B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b、c的值,繼而得出拋物線解析式;
(2)根據(jù)拋物線解析式求出點C、點A的坐標(biāo),過點D作DM⊥x軸于點M,根據(jù)S△BCD=S梯形BOMD+S△DCM-S△BOC,可得出△BCD的面積;
(3)分兩種情況討論,①點D在y軸左側(cè),②點D在y軸右側(cè),根據(jù)△BCD被y軸截得的三角形面積等于△BCD面積的
1
5
,可得出a的方程,解出即可得出答案.
解答:解:(1)將點A(1,0)、點B(0,5)代入拋物線y=-x2+bx+c可得:
-1+b+c=0
c=5
,
解得:
b=-4
c=5
,
故拋物線解析式為:y=-x2-4x+5.

(2)由y=-x2-4x+5,
令y=0,得-x2-4x+5=0,
解得:x1=-5,x2=1,
則點C的坐標(biāo)為(-5,0),
由拋物線頂點坐標(biāo)可得點D的坐標(biāo)為(-2,9),
過點D作DM⊥x軸于點M,
則S△BCD=S梯形BOMD+S△DCM-S△BOC=
1
2
×(5+9)×2+
1
2
×3×9-
1
2
×5×5=15;

(3)平移后點B的坐標(biāo)為(a,5),點C的坐標(biāo)為(-5+a,0),點D的坐標(biāo)為(-2+a,9),
則直線BC的解析式為:y=x+5-a,
直線CD的解析式為:y=3x+15-3a,
直線BD的解析式為:y=-2x+2a+5,
①當(dāng)點D在y軸左側(cè)或y軸上時,0<a≤2,如圖1所示:

點F的坐標(biāo)為(0,2a+5),點E的坐標(biāo)為(0,5-a),
過點B作BH⊥y軸于點H,
S△BEF=
1
2
EF×BH=
3a2
2
=
1
5
×15,
解得:a=
2
或-
2
(舍去);
②當(dāng)點D在y軸右側(cè)時,2<a<5,如圖2所示:

點F的坐標(biāo)為(0,-15-3a),點E的坐標(biāo)為(0,5-a),
S△CEF=
1
2
EF×OC=a2-10a+25=
1
5
×15,
解得:a=5+
3
(舍去)或a=5-
3
,
綜上可得:當(dāng)a=
2
時,拋物線解析式為:y=-(x+2-
2
2+9;
當(dāng)a=5-
3
時,拋物線解析式為:y=-(x-3+
3
2+9.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合,涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形的面積及二次函數(shù)的幾何變換,綜合考察的知識點較多,同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力,能將所學(xué)知識融會貫通.
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2
x
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6
x
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4
4

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