Question

已知：Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)為5，斜邊上的高為2，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點(diǎn)在y 軸正半軸上（如圖（1））。
（1）求線段OA、OB的長(zhǎng)和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式；

（2）如圖（2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m>0，n>0），連接DP交BC于點(diǎn)E。

①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②又連接CD、CP（如圖（3）），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）∵OC2=OA·OB， ∴OA·OB=4， 又∵OA+OB=5，且OA＜OB， 解得，OA=1，OB=4， ∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2）， 設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-4）， 把C點(diǎn)坐標(biāo)代入得， ∴；

（2）①當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為， ②存在，過點(diǎn)D作直線DM垂直于x軸交CP于點(diǎn)M， 可求得直線CP的解析式為：y=； （i）當(dāng)點(diǎn)P在直線DM右側(cè)時(shí)，如圖（1）所示， 此時(shí)2＜m＜4， 把x=2代人直線CP的解析式， 得 又P（m，n）在拋物線上， 所以 S △CDP= S△PDM +S△CDM DM·2=·DM=m+n-2， 即 當(dāng)時(shí)，△CDP的面積最大，最大面積為； （ii）當(dāng)點(diǎn)P在直線DM左側(cè)時(shí)，如圖（2）所示，此時(shí)0＜m≤2， S△CDP= S△CDM - S△DPM ， 當(dāng)m=2時(shí)，S△CDP=3， 綜上所述，當(dāng)時(shí)△CDP的面積最大，其最大面積為，此時(shí)。