(2009•深圳)已知:Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)為5,斜邊上的高為2,將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中,使其斜邊AB與x軸重合(其中OA<OB),直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上(如圖1).
(1)求線段OA、OB的長(zhǎng)和經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式.
(2)如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P(m,n)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中m>0,n>0),連接DP交BC于點(diǎn)E.
①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí),直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).
②又連接CD、CP(如圖3),△CDP是否有最大面積?若有,求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)由Rt△ABC中,CO⊥AB可證△AOC∽△COB,由相似比得OC2=OA•OB,設(shè)OA的長(zhǎng)為x,則OB=5-x,代入可求OA,OB的長(zhǎng),確定A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo),求拋物線解析式;
(2)根據(jù)△BDE為等腰三角形,分為DE=EB,EB=BD,DE=BD三種情況,分別求E點(diǎn)坐標(biāo);
(3)作輔助線,將求△CDP的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化.方法一:如圖1,連接OP,根據(jù)S△CDP=S四邊形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD,表示△CDP的面積;方法二:過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)F,則S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP,表示△CDP的面積;再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)OA的長(zhǎng)為x,則OB=5-x;
∵OC=2,AB=5,∠BOC=∠AOC=90°,∠OAC=∠OCB;
∴△AOC∽△COB,∴OC2=OA•OB
∴22=x(5-x)                                      …(1分)
解得:x1=1,x2=4,
∵OA<OB,∴OA=1,OB=4;                      …(2分)
∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是:A(-1,0),B(4,0),C(0,2);
(注:直接用射影定理的,不扣分)
方法一:設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為:y=ax2+bx+2,
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得
a-b+2=0
16a+4b+2=0
c=2
…(3分)
解得:a=-
1
2
,b=
3
2
,c=2
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
…(4分)
方法二:設(shè)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為:y=a(x+1)(x-4)…(3分)
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得:a=-
1
2

所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
…(4分)
(注:表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分)

(2)①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)分別是:(3,
1
2
)
,(
4
5
,
8
5
)
(4-
4
5
5
,
2
5
5
)

…1+1+(1分)
(注:符合條件的E點(diǎn)共有三個(gè),其坐標(biāo),寫(xiě)對(duì)一個(gè)給1分)
②如圖1,連接OP,
S△CDP=S四邊形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD            …(8分)
=
1
2
×2m+
1
2
×2n-
1
2
×2×2
=m+n-2
=-
1
2
m2+
5
2
m
=-
1
2
(m-
5
2
)2+
25
8
…(9分)
∴當(dāng)m=
5
2
時(shí),△CDP的面積最大.此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(
5
2
21
8
),
S△CDP的最大值是
25
8
.                           …(10分)
另解:如圖2、圖3,過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,則
S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP                             …(8分)
=
1
2
×(2+n)m-
1
2
×2×2-
1
2
×|m-2|•n
=m+n-2
=-
1
2
m2+
5
2
m
=-
1
2
(m-
5
2
)2+
25
8
…(9分)
∴當(dāng)m=
5
2
時(shí),△CDP的面積最大.此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(
5
2
,
21
8
),
S△CDP的最大值是
25
8
.                                 
(注:只回答有最大面積,而沒(méi)有說(shuō)明理由的,不給分;點(diǎn)P的坐標(biāo),或最大面積計(jì)算錯(cuò)誤的,扣(1分);其他解法只要合理,酌情給分.)
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形中斜邊上的高分得的兩個(gè)三角形相似,利用相似比求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),確定拋物線解析式,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求E點(diǎn)坐標(biāo),利用作輔助線的方法表示△CDP的面積,由二次函數(shù)的性質(zhì)求三角形面積的最大值.
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