Question

7．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，MN=1，線段MN的兩端在CB、CD上滑動，當CM為多少時，△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似？

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)和勾股定理求出DE，分CM與AE和AD是對應(yīng)邊兩種情況利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CM即可．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，
∴∠A=90°，AB=AD=2，AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
分兩種情況：
①CM與AE是對應(yīng)邊時，△AED∽△CMN，
∴$\frac{CM}{AE}=\frac{MN}{DE}$，即$\frac{CM}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
解得：CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
②CM與AD是對應(yīng)邊時，△AED∽△CNM，
∴$\frac{CM}{AD}=\frac{MN}{DE}$，即$\frac{CM}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
解得：CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述：當CM為$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時，△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；通過進行分類討論得出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．