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已知:如圖①,正方形ABCD與矩形DEFG的邊AD、DE在同一直線l上,點G在CD上.正方形ABCD的邊長為a,矩形DEFG的長DE為b,寬DG為3(其中a>b>3).若矩形DEFG沿直線l向左以每秒1個單位的長度的速度運動(點D、E始終在直線l上).若矩形DEFG在運動過程中與正方形ABCD的重疊部分的面積記作S,運動時間記為t秒(0≤t≤m),其中S與t的函數圖象如圖②所示.矩形DEFG的頂點經運動后的對應點分別記作D′、E′、F′、G′.
(1)根據題目所提供的信息,可求得b=______,a=______,m=______;
(2)連接AG′、CF′,設以AG′和CF′為邊的兩個正方形的面積之和為y,求當0≤t≤5時,y與時間t之間的函數關系式,并求出y的最小值以及y取最小值時t的值;
(3)如圖③,這是在矩形DEFG運動過程中,直線AG′第一次與直線CF′垂直的情形,求此時t的值.并探究:在矩形DEFG繼續(xù)運動的過程中,直線AG′與直線CF′是否存在平行或再次垂直的情形?如果存在,請畫出圖形,并求出t的值;否則,請說明理由.

【答案】分析:(1)由圖②的函數圖象知:從第4-5秒,S的值恒為12,即此時矩形全部落在正方形的內部,由此可求得兩個條件:①矩形的面積為12,②正方形的邊長為1+DE,根據這兩個條件求解即可.
(2)當0≤t≤5時,矩形在直線AB的左側,可用t表示出AD′、PF′的長,易求得D′G、CP的長,即可用勾股定理求得AG′2、CF′2的值,即可得到y(tǒng)、t的函數關系式.
(3)此題要分五種情況討論:
①當0≤t<4時,點E′在D點右側;由于∠HG′F′、∠HF′G′都是銳角,顯然直線AG′與CF′不可能平行;當兩條直線垂直時,△G′HF′是直角三角形,易證得△AD′G′∽△CPF′,根據相似三角形得到的比例線段即可求得t的值;
②當t=4時,D、E′重合,此時直線DC與E′F′重合,顯然此時AG′與CF′既不平行也不垂直,因為過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行或垂直;
③當4<t<5時,矩形在正方形的內部,延長G′F′交BC于P,延長AG′交CD于Q,此時∠CF′P是銳角,所以∠CF′G是鈍角,顯然AG′與CF′不可能垂直;當兩直線平行時,可證得△AD′G′∽△F′PC,進而可根據相似三角形得到的比例線段求得t的值;
④當t=5時,此種情況與②相同;
⑤當5<t<9時,此時∠QG′F′與∠CF′G′都是鈍角,顯然AG′與CF′不可能平行;當兩直線垂直時,可延長CF′與AG′相交于點M,延長G′F′與CD相交于點P,通過證△AD′G′∽△CPF′來求得此時t的值.
解答:解:(1)由圖②知:從第4到第5秒時,S的值恒為12,此時矩形全部落在正方形的內部,
那么矩形的面積為12,即可求得DE=4;
這個過程持續(xù)了1秒,說明正方形的邊長為:DE+1=5;
由于矩形的速度恒定,所以5~m也應該用4秒的時間,故m=5+4=9;
即:b=4,a=5,m=9.

(2)如圖,當0≤t≤5時,
∵AD′=5-t,D′G=3,PF′=4-t,CP=2,
∴y=9+(5-t)2+4+(4-t)2,
∴y=2(t-2+,
∴當t=時,y有最小值,y最小值=

(3)①當0≤t<4時,分別延長AG′和F′C;
如圖,由于∠1和∠2都是銳角,所以∠1+∠2<180°,
所以AG′與CF′不可能平行.
設AG′與F′C的延長線交于點H,
當∠G′AD′=∠PCF′時,直線AG′⊥CF′;
∴△AD′G′∽△CPF′,

=,
解得t1=2,t2=7(不合題意,舍去).

②當t=4時,由于點F′在CD上,而點G′不在直線AD上,
因為AD⊥CD,所以AG′不可能也垂直于CD
(因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直).
同樣,由于AB∥CD,而點G′不在直線AB上,
所以t=4時,AG′也不可能平行于CD(CF′)
(因為過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行).

③4<t<5時,延長G′F′交PC于P,延長AG′交CD于Q,
由于∠CF′P是銳角,所以∠CF′G是鈍角,
所以∠CF′G+∠QGF′≠90°,所以AG′與CF′不可能垂直;
當∠G′AD′=∠CF′P時,AG′∥CF′,
易得△AD′G′∽△F′PC,
,
=,
解得t=4.4.

④當t=5時,AG′與CF′既不可能垂直也不可能平行,理由同②.

⑤當5<t<9時,因為∠QG′F′與∠CF′G′都是鈍角,
所以∠QG′F′+∠CF′G′>180°,
所以AG′與CF′不可能平行.
延長CF′與AG′相交于點M,延長G′F′與CD相交于點P;
當∠MG′F′+∠MF′G′=90°時,AG′⊥CF′;
又∵∠AG′D′+∠AG′F′=90°,∠MF′G′=∠CF′P,
∴∠AG′D′=∠CF′P,又∠AD′G′=∠F′PC,
∴△AD′G′∽△CPF′,
,即;
解得:t1=2(不合題意,舍去),t2=7;
所以,綜上所述,當t=2或t=7時,直線AG′與直線CF′垂直,當t=4.4時,直線AG′與直線CF′平行.
點評:此題主要考查了矩形、正方形的性質,勾股定理,相似三角形的判定和性質以及分段函數的應用等知識,同時還考查了分類討論的數學思想,難度較大.
練習冊系列答案
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DG
DP
=
2
;④
AP2+QC2
PQ2
=
2
.其中正確的是( 。
A、①②③④B、①②③
C、①②④D、①③④

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(2)當BG=2
5
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