Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E為邊BC延長線上一點(diǎn)，連接DE，BF⊥DE，垂足為點(diǎn)F，BF與邊CD交于點(diǎn)G，連接EG．設(shè)CE=x．
（1）求∠CEG的度數(shù)；
（2）當(dāng)BG=2

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時，求△AEG的面積；
（3）如果AM⊥BF，AM與BC相交于點(diǎn)M，四邊形AMCD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)證明△BCG≌△DCE，得出GC=EC，進(jìn)而求出∠CEG的度數(shù)；
（2）利用勾股定理求出CG的長，再利用S_△AEG=S_{四邊形ABED}-S_△ABE-S_△ADG-S_△DEG，進(jìn)而求出△AEG的面積；
（3）由AM⊥BF，BF⊥DE，易得AM∥DE，于是，由AD∥BC，可知四邊形AMED是平行四邊形，利用梯形的面積公式可得求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°．             
∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∴∠GBC+∠DGF=90°，∠CDF+∠DGF=90°，
∴∠GBC=∠CDE，
∵∠BGC+∠GBC=90°，∠CDE+∠DEC=90°
∴∠BGC=∠DEC，
在△BCG和△DCE中，

∠GBC=∠EDC BC=DC ∠BGC=∠EDC

∴△BCG≌△DCE（ASA）．                             
∴GC=EC，即∠CEG=45°．                                        

（2）在Rt△BCG中，BC=4，BG=2

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，
利用勾股定理，得CG=2．
∴CE=2，DG=2，即得  BE=6．                                
∴S_△AEG=S_{四邊形ABED}-S_△ABE-S_△ADG-S_△DEG
=

1

2

(4+6)×4-

1

2

×6×4-

1

2

×2×4-

1

2

×2×2
=2．                 

（3）由AM⊥BF，BF⊥DE，易得AM∥DE．
于是，由AD∥BC，可知四邊形AMED是平行四邊形．
∴AD=ME=4．
由CE=x，得MC=4-x．
∴y=S梯形AMCD=

1

2

(AD+MC)•CD=

1

2

(4+4-x)×4=-2x+16．
即y=-2x+16，定義域為0＜x＜4．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)三角形和梯形的面積公式，考查面很廣，綜合性較強(qiáng)．