Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，過點(diǎn)P作DP的垂線交BC于點(diǎn)G，DG交AC于點(diǎn)Q．下列說法：①EF=DP；②EF⊥DP；③

DG

DP

=

2

；④

AP2+QC2

PQ2

=

2

．其中正確的是（　　）

• A、①②③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

分析：根據(jù)題意先證明△AHP≌△AEP，△PHD≌△EPF，從而得到①②正確，再由三角形PDG為等腰直角三角形，得出③正確．

解答：解：作PH⊥AD交AD于H，
∵PH=PE，∠HAP=∠EAP，∠AHP=∠AEP
∴△AHP≌△AEP（AAS）
∴AH=AE，HD=BE=PF，
∵HP=EP，∠EPF=∠PHD=90°
∴△PHD≌△EPF（HL）
∴EF=DP，∠EFP=∠PDH，
∵EP平行且相等于BF，BE=FP
∴△EBF≌△EPF（HL）
∴EB=PF，∠EFP=∠FPG，
∵∠EBF=∠PFG=90°，
∴∠BEF=∠EFP=∠FPG，
∴△EBF≌△PFG（ASA）
∴EP平行且相等于FG
∴四邊形EFGP是平行四邊形
依題意PG⊥DP，故EF⊥DP，
由上得出△PHD≌△EPF，△EBF≌△EPF，△EBF≌△PFG
∴△PHD≌△PFG
∴PD=PG，三角形PDG為等腰直角三角形，
故

DG

DP

=

2

所以①②③正確，故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形的判定，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用，涉及大量的全等三角形的證明．