Question

24、已知，如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在AB上和AD的延長線上，且BE=DF，連接EF，G為EF的中點．
求證：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分AC．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的全等，證明△CEB≌△CFD，即可解決；
（2）連接AG，CG，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出AG=GE=GF，再證明∠ECF=90°，即可得出CG=GE=GF，結論得證．

解答：（1）證明：
∵BE=DF，
BC=CD，
∠EBC=∠CDF，
∴△CEB≌△CFD，
∴CE=CF；

（2）證明
連接AG，CG
在Rt△EAF中，
∵G是斜邊EF的中點，
∴AG=GE=GF，
又∵△EBC≌△FDC
∴∠ECB=∠FCD，∠BCD=90°，
∴∠ECF=90°，
∴同理：CG=GE=GF，即GC=GA，
∴G點在AC的垂直平分線上，
又∵DA=DC，
∴D點也在AC的垂直平分線上，
∴DG垂直平分AC．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，分別得出AG=GE=GF，CG=GE=GF，是解決問題的關鍵．