Question

如圖，BE、CF分別是 △ABC的邊AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB，求證：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ

Answer 1

見解析

本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)
（1）AC⊥BE，AB⊥QC可得∠FBP=∠ECP，再有BP=AC，CQ=AB，根據(jù)SAS證得△QAC≌△APB即可；
（2）由△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通過等量代換得∠BAP+∠QAF=90°即可得AP⊥AQ．
（1）證明：∵AC⊥BE，AB⊥QC     （2）∵△QAC≌△APB
∴∠BFP=∠CEP=90°                    ∴∠AQF=∠PAF
又∵∠FBP=∠EPC                       又AB⊥QC
∴∠FBP=∠ECP                         ∴∠QFA=90°
在△QAC的△APB中                    ∴∠FQA+∠FAQ=90°
BP=AC                                 ∴∠FQA+∠PAF=90°
∠FBP=∠ECP                           即∠PAQ=90°
CQ=AB                                 ∴AP⊥AQ
∴△QAC≌△APB（SAS）
∴AP=AQ