分析 (1)過點B作BD⊥x軸于點D,由點C的坐標以及旋轉的角度即可得出OB=3、∠BOD=60°,通過解直角三角形以及勾股定理即可得出OD、BD的長度,結合點B所在的象限即可得出點B的坐標;
(2)設經(jīng)過C,O,B三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx(a≠0),根據(jù)點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過C,O,B三點的拋物線的解析式;
(3)假設存在,過點P作PE∥y軸交BC于點E,根據(jù)點B、C的坐標即可求出直線BC的解析式,設點P的坐標為(m,$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m)(-3<m<0),則點E的坐標為(m,$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$),根據(jù)三角形的面積公式即可得出S△PBC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$(m+\frac{3}{4})^{2}$+$\frac{81\sqrt{3}}{32}$,再根據(jù)二次函數(shù)的性質即可解決最值問題,此題得解.
解答 解:(1)過點B作BD⊥x軸于點D,如圖1所示.
∵點C的坐標為(-3,0),將線段OC繞原點O順時針旋轉120°,
∴OB=OC=3,∠BOD=60°,
∴∠OBD=30°,OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$,BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴點B的坐標為($\frac{3}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$).
(2)設經(jīng)過C,O,B三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx(a≠0),
將點B($\frac{3}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$)、C(-3,0)代入y=ax2+bx中,
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{9a-3b=0}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2\sqrt{3}}{9}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$,
∴經(jīng)過C,O,B三點的拋物線的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x.
(3)假設存在,過點P作PE∥y軸交BC于點E,如圖2所示.
設直線BC的解析式為y=kx+c(k≠0),
將C(-3,0)、B($\frac{3}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$)代入y=kx+c,
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+c=0}\\{\frac{3}{2}k+c=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
∴直線BC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$,
設點P的坐標為(m,$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m)(-3<m<0),則點E的坐標為(m,$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$),
∴S△PBC=$\frac{1}{2}$PE•(xB-xC)=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{m}^{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$m+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$(m+\frac{3}{4})^{2}$+$\frac{81\sqrt{3}}{32}$.
∵-$\frac{\sqrt{3}}{2}$<0,
∴當m=-$\frac{3}{4}$時,S△PBC取最大值$\frac{81\sqrt{3}}{32}$,此時點P的坐標為(-$\frac{3}{4}$,$\frac{3\sqrt{3}}{8}$).
點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解直角三角形、勾股定理以及二次函數(shù)的性質,根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關鍵.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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A. | (1,0) | B. | ($\sqrt{2}$,0) | C. | (2,0) | D. | ($\sqrt{5}$,0) |
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A. | 135° | B. | 130° | C. | 120° | D. | 140° |
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A. | $\left\{\begin{array}{l}{10x+5y=31}\\{4x=3y}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{4x+5y=31}\\{10x-3y=0}\end{array}\right.$ | ||
C. | $\left\{\begin{array}{l}{4x=5y}\\{10x+3y=31}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{4x+31=5y}\\{10x=3y}\end{array}\right.$ |
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A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | a+b<0 | B. | a+b>0 | C. | a-b>0 | D. | b-a=0 |
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