如圖,在平面直角坐標系中,點O是原點,矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C在y的正半軸上,點B的坐標是(5,3),拋物線y=
3
5
x2+bx+c經過A、C兩點,與x軸的另一個交點是點D,連接BD.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是拋物線對稱軸上的一點,以M、B、D為頂點的三角形的面積是6,求點M的坐標;
(3)點P從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動,同時點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動,當點P到達點B時,P、Q同時停止運動,設運動的時間為t秒,當t為何值時,以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形?請直接寫出所有符合條件的值.
(1)∵矩形ABCD,B(5,3),
∴A(5,0),C(0,3).
∵點A(5,0),C(0,3)在拋物線y=
3
5
x2+bx+c上,
3
5
×25+5b+c=0
c=3
,解得:b=-
18
5
,c=3.
∴拋物線的解析式為:y=
3
5
x2-
18
5
x+3.

(2)如答圖1所示,
∵y=
3
5
x2-
18
5
x+3=
3
5
(x-3)2-
12
5
,
∴拋物線的對稱軸為直線x=3.
如答圖1所示,設對稱軸與BD交于點G,與x軸交于點H,則H(3,0).

令y=0,即
3
5
x2-
18
5
x+3=0,解得x=1或x=5.
∴D(1,0),∴DH=2,AH=2,AD=4.
∵tan∠ADB=
AB
AD
=
3
4
,∴GH=DH•tan∠ADB=2×
3
4
=
3
2
,
∴G(3,
3
2
).
∵S△MBD=6,即S△MDG+S△MBG=6,
1
2
MG•DH+
1
2
MG•AH=6,
即:
1
2
MG×2+
1
2
MG×2=6,
解得:MG=3.
∴點M的坐標為(3,
9
2
)或(3,-
3
2
).

(3)在Rt△ABD中,AB=3,AD=4,則BD=5,∴sinB=
4
5
,cosB=
3
5

以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形,則:
①若PD=PQ,如答圖2所示:
此時有PD=PQ=BQ=t,過點Q作QE⊥BD于點E,
則BE=PE,BE=BQ•cosB=
3
5
t,QE=BQ•sinB=
4
5
t,
∴DE=t+
3
5
t=
8
5
t.
由勾股定理得:DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2,
即(
8
5
t)2+(
4
5
t)2=42+(3-t)2,
整理得:11t2+6t-25=0,
解得:t=
25
11
或t=-5(舍去),
∴t=
25
11
;

②若PD=DQ,如答圖3所示:
此時PD=t,DQ=AB+AD-t=7-t,
∴t=7-t,
∴t=
7
2
;
③若PQ=DQ,如答圖4所示:
∵PD=t,∴BP=5-t;
∵DQ=7-t,∴PQ=7-t,AQ=4-(7-t)=t-3.
過點P作PF⊥AB于點F,則PF=PB•sinB=(5-t)×
4
5
=4-
4
5
t,BF=PB•cosB=(5-t)×
3
5
=3-
3
5
t.
∴AF=AB-BF=3-(3-
3
5
t)=
3
5
t.
過點P作PE⊥AD于點E,則PEAF為矩形,
∴PE=AF=
3
5
t,AE=PF=4-
4
5
t,∴EQ=AQ-AE=(t-3)-(4-
4
5
t)=
9
5
t-7.
在Rt△PQE中,由勾股定理得:EQ2+PE2=PQ2,
即:(
9
5
t-7)2+(
3
5
t)2=(7-t)2,
整理得:13t2-56t=0,
解得:t=0(舍去)或t=
56
13

∴t=
56
13

綜上所述,當t=
25
11
,t=
7
2
或t=
56
13
時,以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形.
練習冊系列答案
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15
)在拋物線的對稱軸上.
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(2)求證:△ABC是等腰三角形.
(3)動點P在線段AC上,從點A出發(fā)以每鈔1個單位的速度向C運動,同時動點Q在線段AB上,從B出發(fā)以每秒1個單位的速度向A運動.當Q到達點A時,兩點同時停止運動.設運動時間為t秒,求當t為何值時,△APQ與△ABC相似.

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1
4
x2+nx
與直線y=
1
2
x
及過N點垂直于x軸的直線交于點D.點P(m,0)是x軸上一動點,過點P作y軸的平行線,交射線OM于點E.設以M、E、H、N為頂點的四邊形的面積為S.
(1)直接寫出點D的坐標及n的值;
(2)判斷拋物線C的頂點是否在直線OM上?并說明理由;
(3)當m≠3時,求S與m的函數(shù)關系式;
(4)如圖2,設直線PE交射線OD于R,交拋物線C于點Q,以RQ為一邊,在RQ的右側作矩形RQFG,其中RG=
3
2
,直接寫出矩形RQFG與等腰直角三角形OMN重疊部分為軸對稱圖形時m的取值范圍.

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3
,0),⊙P剛好與x軸相切于點A,⊙P交y的正半軸于點B,點C,且BC=4.
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(2)求證:四邊形CAPB為菱形;
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AB
CD
=
1
2
;
(2)如圖2,探索:
AB
CD
的值.

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已知,如圖,在直角坐標系中,矩形OABC的對角線AC所在直線解析式為y=-
3
3
x+1.
(1)在x軸上存在這樣的點M,使AMB為等腰三角形,求出所有符合要求的點M的坐標;
(2)動點P從點C開始在線段CO上以每秒
3
個單位長度的速度向點O移動,同時,動點Q從點O開始在線段OA上以每秒1個單位長度的速度向點A移動.設P、Q移動的時間為t秒.
①是否存在這樣的時刻2,使△OPQ與△BCP相似,并說明理由;
②設△BPQ的面積為S,求S與t間的函數(shù)關系式,并求出t為何值時,S有最小值.

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