Question

13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，DA∥BC，tan∠DBA=$\frac{1}{2}$，若CD=2$\sqrt{17}$，則線段BC的長為，6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE=∠ABC=45°，設(shè)AE=DE=x，由tan∠DBA=$\frac{1}{2}$，得到BE=2x，根據(jù)勾股定理得到BD=$\sqrt{5}$x，AB=AC=3x，求得BC=3$\sqrt{2}$x，根據(jù)勾股定理得到DF²+CF²=CD²，即（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x）²=（2$\sqrt{17}$）²，于是得到結(jié)論．

解答 解：過D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∵DA∥BC，
∴∠DAE=∠ABC=45°，
∴AE=DE，
設(shè)AE=DE=x，
∵tan∠DBA=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2x，
∴BD=$\sqrt{5}$x，AB=AC=3x，
∴BC=3$\sqrt{2}$x，
∴DF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，
∴BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴CF=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，
∵DF²+CF²=CD²，
∴（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x）²=（2$\sqrt{17}$）²，
∴x=2，
∴BC=6$\sqrt{2}$．
故答案為：6$\sqrt{2}$，

點評 本題考查了解直角三角形，梯形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．