Question

直線l₁：y=kx+b過(guò)點(diǎn)B（5，-1）且平行于直線y=-x．
（1）求直線l₁的解析式；
（2）若直線l₂：y=2x-2與直線l₁交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，求由O、A、B、C四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積；
（3）若有一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l₃，恰好平分四邊形OABC的面積，試求此直線l₃的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線相交或平行問(wèn)題

專題：

分析：（1）先根據(jù)y=kx+b與直線y=2x平行求出k的值，再根據(jù)B（5，-1）求出b的值即可．
（2）先求得C的坐標(biāo)，直線AB的解析式從而求得與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)四邊形的面積=S_△AOD+S_△BOD+S_△OBC即可求得；
（3）根據(jù)三角形的面積求得直線l₃與直線AB的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線AB的解析式求得橫坐標(biāo)，設(shè)直線l₃的解析式為y=kx，把交點(diǎn)坐標(biāo)代入即可．

解答：解：由題意得，（1）∵直線y=kx+b與直線y=-x平行，
∴k=-1，
設(shè)此一次函數(shù)的解析式為：y=-x+b，
∵直線l₁：y=kx+b過(guò)點(diǎn)B（5，-1），
∴-1=-5+b，
解得：b=4，
∴直線l₁的解析式為：y=-x+4；
（2）解

y=-x+4 y=2x-2

得

x=2 y=2

，
∴A（2，2）；
由直線l₂：y=2x-2可知：C（0，-2），
∴直線AB為：y=-x+4，
∴直線AB與x軸的交點(diǎn)為D（4，0），
∴由O、A、B、C四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積=S_△AOD+S_△BOD+S_△OBC=

1

2

OD•2+

1

2

OD•1+

1

2

OC•5=

1

2

×4×2+

1

2

×4×1+

1

2

×2×5=11；

（3）設(shè)直線l₃交直線AB于E，
∵S_△AOD=

1

2

OD•2=

1

2

×4×2=4，四邊形OABC的面積=11，
∴S_△ODE=

11

2

-4=

3

2

，
設(shè)E的縱坐標(biāo)為h，
∴S_△ODE=

1

2

OD•h=

3

2

，
∴h=

3

2

×2×

1

4

=

3

4

，
∴E的縱坐標(biāo)為-

3

4

，
代入直線AB解析式y(tǒng)=-x+4，得x=

19

4

，
∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l₃，
∴設(shè)直線l₃為y=kx，
∴-

3

4

=

19

4

k，解得k=-

3

19

，
∴直線l₃的解析式為y=-

3

19

x；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩直線平行時(shí)系數(shù)k的關(guān)系，四邊形的面積、方程的解以及函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的綜合應(yīng)用，正確求得四邊形OABC的面積是關(guān)鍵．