14.如圖,矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標系中,點A(4,0),點B(0,3),點P為BC邊上的動點(點P不與點B、C重合),經(jīng)過點O、P折疊該紙片,得點B′和折痕OP.經(jīng)過點P再次折疊紙片,使點C落在直線PB′上,得點C′和折痕PQ,連接OQ,設BP=t.
(1)當t=1時,求點Q的坐標;
(2)設S四邊形OQCB=s,試用含有t的式子表示s;
(3)當OQ取得最小值時,求點Q的坐標(直接寫出結(jié)果即可).

分析 (1)先由翻折性質(zhì)推出∠OPQ=90°,進而推出△OBP∽△PCQ,列出相似比例關系即可求得CQ,進而求得AQ的長,求得Q的坐標;
(2)由△OBP∽△PCQ,列出相似比例關系即可表示出CQ,然后根據(jù)梯形的面積公式即可求得;
(3)根據(jù)勾股定理當AQ取最小值時,OQ的值最小,由△OBP∽△PCQ,列出相似比例關系即可表示出AQ,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得AQ取最小值即可,

解答 解:(1)如圖,∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的,
∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,
∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC,
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,
∴∠OPB+∠QPC=90°,
∵∠BOP+∠OPB=90°,
∴∠BOP=∠CPQ,
又∵∠OBP=∠C=90°,
∴△OBP∽△PCQ,∴$\frac{OB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$,
∵BP=1,則PC=3,
∴$\frac{3}{3}$=$\frac{1}{CQ}$,
∴CQ=1,
∴AQ=2,
∴Q(4,2);
(2)∵△OBP∽△PCQ,∴$\frac{OB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$,
∵BP=t,BC=4,AC=3,則PC=4-t,∴$\frac{3}{4-t}$=$\frac{t}{CQ}$,
∴CQ=-$\frac{1}{3}$t2+$\frac{4}{3}$t.
∴s=$\frac{1}{2}$(3-$\frac{1}{3}$t2+$\frac{4}{3}$t)×4=-$\frac{2}{3}$t2+$\frac{8}{3}$t+6(0<t<4);
(3)∵△OBP∽△PCQ,∴$\frac{OB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$,
由題意設BP=t,AQ=m,BC=4,AC=3,則PC=4-t,CQ=3-m.∴$\frac{3}{4-t}$=$\frac{t}{3-m}$,
∴m=$\frac{1}{3}$t2-$\frac{4}{3}$t+3=$\frac{1}{3}$(x-2)2+$\frac{5}{3}$(0<t<4).
∵OA=4是定值,根據(jù)勾股定理當m取最小值時,OQ的值最小,
∴當t=2時,m最小值為$\frac{5}{3}$,
∴此時Q(4,$\frac{5}{3}$).

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)等知識點,綜合性較強,難度較大.清楚翻折前后的兩個圖形全等以及熟悉相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關鍵.

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