Question

已知：二次函數(shù)y=ax²-4ax+b圖象，開口向上，且b＜0，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，且滿足

|OA|

|OB|

=5，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），與y軸的交點(diǎn)為C（0，t），頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為k，且滿足|k-

9

5

3

|≤

24

5

3

．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求t的取值范圍．
（3）當(dāng)t取最小值時(shí)，求出這個(gè)二次函數(shù)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）先求出拋物線的對(duì)稱軸為x=2，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得|OA|-2=|OB|+2，計(jì)算求出|OA|、|OB|的長度，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）解不等式得到k的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)得到a、t的關(guān)系式，然后代入頂點(diǎn)縱坐標(biāo)消掉字母a得到關(guān)于t的不等式，求解即可得到t的取值范圍；
（3）根據(jù)t的取值范圍得到t的最小值，再代入a、t的關(guān)系式求出a的值，代入二次函數(shù)表達(dá)式即可得解．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=ax²-4ax+b的對(duì)稱軸為x=-

-4a

2a

=2，
∵

|OA|

|OB|

=5①，
∴點(diǎn)A在對(duì)稱軸右邊，點(diǎn)B在對(duì)稱軸左邊，
∴|OA|-2=|OB|+2②，
聯(lián)立①②解得，|OA|=5，|OB|=1，
又∵5-2=3，
∴點(diǎn)A、B到對(duì)稱軸x=2的距離為3，
所以，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（5，0），B（-1，0）；

（2）由|k-

9

5

3

|≤

24

5

3

得，k-

9

5

3

≤

24

5

3

或k-

9

5

3

≥-

24

5

3

，
解得k≤

33

5

3

或k≥-3

3

，
所以，k的范圍為-3

3

≤k≤

33

5

3

，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C（0，t），點(diǎn)A（-1，0）在拋物線上，
∴b=t，a+4a+b=0，
∴5a+t=0，
拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)k=

4ab-(-4a)2

4a

=b-4a=t-4×（-

1

5

t）=

9

5

t，
∴-3

3

≤

9

5

t≤

33

5

3

，
解得-

5

3

3

≤t≤

11

3

3

，
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∴t=-5a＜0，
∴t的取值范圍是-

5

3

3

≤t＜0；

（3）t取最小值時(shí)，t=-

5

3

3

，
此時(shí)，b=t=-

5

3

3

，
∵5a+t=0，
∴a=

3

3

，
∴這個(gè)二次函數(shù)式為y=

3

3

x²-

4 3

3

x-

5 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱軸解析式的求解，函數(shù)的對(duì)稱性，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，以及解絕對(duì)值不等式，（2）題需要注意t二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，t與b的值相等，都是負(fù)數(shù)．