Question

20．已知拋物線y=$\frac{1}{5}$x²+$\frac{2}{5}$mx+$\frac{1}{5}$m²+m+3的頂點A在一條直線l上運動．
（1）A點坐標（-m，m+3），，直線l的解析式是y=-x+3．
（2）拋物線與直線l的另一個交點為B，當△AOB是直角三角形時，求m 的值．
（3）拋物線上是否存在點C使△ABC的面積是△ABO面積的2.4倍，若存在請求出C點坐標（用含m的式子表示），若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求頂點A的坐標為：（-m，m+3），因為頂點A在一條直線l上運動，所以直線l的解析式是：y=-x+3；
（2）當△AOB是直角三角形時，分三種情況討論：令三個頂點分別為直角頂點時，作垂線構(gòu)建矩形AMNH，利用勾股定理或相似可以求出對應(yīng)m的值；
（3）因為△ABC和△ABO有一個共同的底邊AB，根據(jù)△ABC的面積是△ABO面積的2.4倍，可知對應(yīng)的高是2.4倍，所以作PC∥l，得$\frac{OG}{GH}=\frac{OE}{EP}$=$\frac{1}{2.4}$，可求得P（0，10.2），得出直線PC的解析式，所以該直線與拋物線的交點就是兩解析式組成的方程組的解．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{5}$x²+$\frac{2}{5}$mx+$\frac{1}{5}$m²+m+3，
=$\frac{1}{5}$（x+m）²+m+3，
∴頂點A（-m，m+3），
設(shè)A（x，y），則x=-m，y=m+3，
∴m=-x，y=-x+3，
∴直線l的解析式是：y=-x+3；
故答案為：（-m，m+3），y=-x+3；
（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{2}{5}mx+\frac{1}{5}{m}^{2}+m+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-m}\\{{y}_{1}=m+3}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-m-5}\\{{y}_{2}=m+8}\end{array}\right.$，
∵A（-m，m+3），
∴B（-m-5，m+8），
作AH⊥y軸于H，作BN⊥y軸于N，作AM⊥BN于M，
則OA²=AH²+OH²=（-m）²+（m+3）²=2m²+6m+9，
OB²=BN²+ON²=（-m-5）²+（m+8）²=2m²+26m+89，
AB²=BM²+AM²=[-m-（-m-5）]²+（m+8-m-3）²=50，
∴BN=-m-5，BM=-m-（-m-5）=5，AM=m+8-m-3=5，OH=-m-3，ON=m+8，
分情況討論：
①當∠AOB=90°時，如圖1，
方法一：
∴∠NOB+∠AOH=90°，
∵∠AOH+∠OAH=90°，
∴∠NOB=∠OAH，
∵∠ONB=∠AHO=90°，
∴△BNO∽△OHA，
∴$\frac{BN}{OH}=\frac{ON}{AH}$，
∴$\frac{-m-5}{-m-3}=\frac{m+8}{-m}$，
∴m²+8m+12=0，
（m+2）（m+6）=0，
m₁=-2，m₂=-6，
方法二：則OB²+OA²=AB²，
∴m²+8m+12=0，
（m+2）（m+6）=0，
m₁=-2，m₂=-6，
②當∠ABO=90°時，如圖2，
方法一：
同理得：△BNO∽△AMB，
∴$\frac{BN}{AM}=\frac{ON}{BM}$，
∴$\frac{-m-5}{5}$=$\frac{m+8}{5}$，
m=-$\frac{13}{2}$，
方法二：則OB²+AB²=OA²，
∴20m+130=0，
m=-$\frac{13}{2}$，
③當∠OAB=90°時，OA²+AB²=OB²，
2m²+6m+9+50=2m²+26m+89，
20m=-30，
m=-$\frac{3}{2}$，
綜上所述，m的值為-2或-6或-$\frac{13}{2}$或-$\frac{3}{2}$；
（3）如圖3，過C作CP∥l，交y軸于P，過O作OH⊥PC于H，交l于G，則OH⊥l，
設(shè)直線l與兩坐標軸交于E、F，
當x=0時，y=3，
當y=0時，x=3，
∴OE=OF=3，
∵S_△ABC=2.4S_△ABO，
∴$\frac{OG}{GH}$=$\frac{1}{2.4}$，
∵EF∥PC，
∴$\frac{OG}{GH}=\frac{OE}{EP}$=$\frac{1}{2.4}$，
∴$\frac{3}{EP}=\frac{1}{2.4}$，
∴EP=7.2，
∴P（0，10.2），
則直線PC的解析式為：y=-x+10.2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+10.2}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{2}{5}mx+\frac{1}{5}{m}^{2}+m+3}\end{array}\right.$，
$\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{2}{5}mx+\frac{1}{5}{m}^{2}+m+3$=-x+10.2，
x²+2mx+m²+5m+15+5x-51=0，
x²+（2m+5）x+m²+5m-36=0，
（x+m+9）（x+m-4）=0，
x₁=-m-9，x₂=-m+4，
當x₁=-m-9時，y₁=m+19.2，
當x₂=-m+4時，y₂=m+6.2，
∴C（-m-9，m+19.2）或（-m+4，m+6.2）．
當直線PC∥l，且PC在l的下方時，
同理得EP=7.2，
∴P（0，-4.2），
∴直線PC的解析式為：y=-x-4.2，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-4.2}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{2}{5}mx+\frac{1}{5}{m}^{2}+m+3}\end{array}\right.$，
此方程組無解，
綜上所述，點C的坐標為（-m-9，m+19.2）或（-m+4，m+6.2）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，熟練掌握兩函數(shù)的交點就是兩解析式組成的方程組的解，對于給出的直角三角形時，要采用分類討論的方式解決問題．