Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$（x＞0）圖象上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與x軸交于點(diǎn) A、與y軸交于點(diǎn)B，連接AB．
（1）求證：P為線段AB的中點(diǎn)；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理的推論得出AB是⊙P的直徑即可；
（2）首先假設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），得出OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，進(jìn)而利用三角形面積公式求出即可．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)A、O、B在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB為⊙P直徑，
即P為AB中點(diǎn)；

（2）解：∵P為$y=\frac{12}{x}$（x＞0）上的點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則mn=12，
過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∴M的坐標(biāo)為（m，0），N的坐標(biāo)為（0，n），
且OM=m，ON=n，
∵點(diǎn)A、O、B在⊙P上，
∴M為OA中點(diǎn)，OA=2 m；
N為OB中點(diǎn)，OB=2 n，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•O B=2mn=24．

點(diǎn)評 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及三角形面積求法和圓周角定理推論等知識，熟練利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出OA，OB的長是解題關(guān)鍵．