如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC是等邊三角形,點B的坐標(biāo)為(12,0),動點P在線段AB上從點A向點B以每秒
3
個單位的速度運動,設(shè)運動時間為t秒.以點P為頂點,作等邊△PMN,點M,N在x軸上.
(1)當(dāng)t為何值時,點M與點O重合;
(2)求點P坐標(biāo)和等邊△PMN的邊長(用t的代數(shù)式表示);
(3)如果取OB的中點D,以O(shè)D為邊在△AOB內(nèi)部作如圖②所示的矩形ODEF,點E在線段AB上.設(shè)等邊△PMN和矩形ODEF重疊部分的面積為S,請求出當(dāng)0≤t≤2秒時S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(1)點M與點O重合.
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABO=30°,∠BAO=60°.
由OB=12,
∴AB=8
3
,AO=4
3

∵△PON是等邊三角形,
∴∠PON=60度.
∴∠AOP=30度.
∴AO=2AP,即4
3
=2
3
t,
解得t=2.
∴當(dāng)t=2時,點M與點O重合.

(2)如圖①,過P分別作PQ⊥OA于點Q,PS⊥OB于點S,
可求得AQ=
1
2
AP=
3
t
2
,PS=QO=OA-AQ=4
3
-
3
t
2

QP=AQcos30°=
3
×
3
2
t
=
3
2
t.
∴點P坐標(biāo)為(
3
2
t
,4
3
-
3
t
2
).
在Rt△PMS中,sin60°=
PS
PM
,
∴PM=(4
3
-
3
t
2
)÷
3
2
=8-t.

(3)(Ⅰ)當(dāng)0≤t≤1時,見圖②.
設(shè)PN交EF于點G,
∵PM過F點時,OD⊥ED,EDFO而D為OB的中點,
∴E是AB的中點,
∵EFOD,
∴F也是AO的中點,
∴△FMO≌△AFP,
∴∠FMO=∠PAF=60°,
則重疊部分為直角梯形FONG,
作GH⊥OB于點H.
∵∠GNH=60°,GH=2
3
,
∴HN=2.
∵M(jìn)P=8-t,
∴BM=2MP=16-2t.
∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t.
∴ON=MN-OM=8-t-(4-2t)=4+t.
∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t.
∴S=
1
2
(2+t+4+t)×2
3
=2
3
t+6
3

∵S隨t的增大而增大,
∴當(dāng)t=1時,S最大=8
3

(Ⅱ)當(dāng)1<t≤2時,見圖③.
設(shè)PM交EF于點I,交FO于點Q,PN交EF于點G.
重疊部分為五邊形OQIGN.
OQ=4
3
-2
3
t,F(xiàn)Q=2
3
-(4
3
-2
3
t)=2
3
t-2
3
,F(xiàn)I=
3
3
FQ=2t-2.
∴三角形QFI的面積=
1
2
(2
3
t-2
3
)(2t-2)=2
3
(t2-2t+1).
由(Ⅰ)可知梯形OFGN的面積=2
3
t+6
3
,
∴S=2
3
t+6
3
-2
3
(t2-2t+1)=-2
3
(t2-3t-2).
∵-2
3
<0,
∴當(dāng)t=
3
2
時,S有最大值,S最大=
17
3
2

綜上所述:當(dāng)0≤t≤1時,S=2
3
t+6
3
;當(dāng)1<t≤2時,S=-2
3
t2+6
3
t+4
3
;
17
3
2
>8
3

∴S的最大值是
17
3
2

練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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(2)試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品的年獲利z(萬元)關(guān)于銷售單價x(元)的函數(shù)關(guān)系式(年獲利=年銷售額一年銷售產(chǎn)品總進(jìn)價一年總開支).當(dāng)銷售單價x為何值時,年獲利最大并求這個最大值;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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(3)若S=3300m2,求PA的長.(精確到0.1m)

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