Question

矩形ABCO的面積為10，OA比OC大3，E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D，DF⊥AE于F．
（1）求OA、OC的長．
（2）求DF長；
（3）P為邊BC上一動點(diǎn)，設(shè)△ABP的面積為x，△OPC的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．
（4）直線BC上是否存在點(diǎn)Q，使∠AQO=90°？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)OC=x，則OA=x+3，
由題意得：x（x+3）=10，
即（x-2）（x+5）=0，
解得：x=2，x=-5（舍去），
∴OA=5，OC=2；

（2）∵E為BC的中點(diǎn)，得到D為AD中點(diǎn)，且BC=5，AB=2，
∴AD=BE=2.5，根據(jù)勾股定理得：AE=

22+2.52

=

41

2

，
∵矩形ABCD，∴BC∥AD，
∴∠BEA=∠EAD，又∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA，
∴

AB

DF

=

AE

AD

，
則DF=

10 41

41

；

（3）∵S_矩形ABCD=S_△AED，
∴S_△ABP+S_△OCP=

1

2

S_矩形ABCD，即x+y=5，
則y=5-x（0＜x＜5）；

（4）存在．畫出圖形，如圖所示：
當(dāng)AQ⊥QO時，∠AQB+∠CQD=90°，
∵∠AQB+∠BQA=90°，
∴∠CQD=∠BAQ，
又∠B=∠DCQ=90°，
∴△ABQ∽△QCD，∴

BQ

CD

=

AB

QC

，設(shè)BQ=a，則QC=5-a，
∴

a

2

=

2

5-a

，即（a-1）（a-4）=0，
解得：a=1或a=4，
當(dāng)BQ=a=1時，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-4，2）；
當(dāng)BQ=a=4時，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-1，2），
綜上，Q坐標(biāo)為（-1，2）或（-4，2）．