如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).拋物線y=ax2+bx過(guò)A、C兩點(diǎn).
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo),并求出拋物線的解析式;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā).沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E.
①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.當(dāng)t為何值時(shí),線段EG最長(zhǎng)?
②連接EQ.在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得△CEQ是等腰三角形?請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的t值.
(1)因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為8,ADx軸,ABy軸,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,8).
將A(4,8)、C(8,0)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx得
16a+4b=8
64a+8b=0
,
解得a=-
1
2
,b=4.
故拋物線的解析式為:y=-
1
2
x2+4x;

(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE=
PE
AP
=
BC
AB
,即
PE
AP
=
4
8

∴PE=
1
2
AP=
1
2
t.PB=8-t.
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4+
1
2
t,8-t).
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為:-
1
2
(4+
1
2
t)2+4(4+
1
2
t)=-
1
8
t2+8.
∴EG=-
1
8
t2+8-(8-t)=-
1
8
t2+t.
∵-
1
8
<0,∴當(dāng)t=4時(shí),線段EG最長(zhǎng)為2.
②共有三個(gè)時(shí)刻.
(①)當(dāng)EQ=QC時(shí),
因?yàn)镼(8,t),E(4+
1
2
t,8-t),QC=t,
所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,得:
1
2
t-4)2+(8-2t)2=t2
整理得13t2-144t+320=0,
解得t=
40
13
或t=
104
13
=8(此時(shí)E、C重合,不能構(gòu)成三角形,舍去).
(②)當(dāng)EC=CQ時(shí),
因?yàn)镋(4+
1
2
t,8-t),C(8,0),QC=t,
所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,得:
(4+
1
2
t-8)2+(8-t)2=t2
整理得t2-80t+320=0,t=40-16
5
,t=40+16
5
>8(此時(shí)Q不在矩形的邊上,舍去).
(③)當(dāng)EQ=EC時(shí),
因?yàn)镼(8,t),E(4+
1
2
t,8-t),C(8,0),
所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,得:(
1
2
t-4)2+(8-2t)2=(4+
1
2
t-8)2+(8-t)2,
解得t=0(此時(shí)Q、C重合,不能構(gòu)成三角形,舍去)或t=
16
3

于是t1=
16
3
,t2=
40
13
,t3=40-16
5
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=
3
4
,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q、R分別在線段BC,AC上,且使得四邊形APQR是矩形.設(shè)AP的長(zhǎng)是x,矩形APQR面積為y,已知y是x的函數(shù),其圖象是過(guò)點(diǎn)(12,36)的拋物線上的一部分.
(1)求AB的長(zhǎng);
(2)當(dāng)AP為何值時(shí),矩形APQR的面積最大,并求出最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

一張矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.
(1)如圖,將紙片沿CE對(duì)折,使點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在(1)中,設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為P,如果點(diǎn)B、P在拋物線y=x2+bx+c上,求b、c的值;
(3)如果將矩形紙片沿某直線l對(duì)折,使點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)F處,且BF與l的交點(diǎn)Q恰好落在(2)的拋物線上.除了上述的點(diǎn)D外,這樣的點(diǎn)F是否存在?如果存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,一次函數(shù)y=x+k圖象過(guò)點(diǎn)A(1,0),交y軸于點(diǎn)B,C為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且OB=
1
2
BC,過(guò)A,C兩點(diǎn)的拋物線交直線AB于點(diǎn)D,且CDx軸.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)直接寫(xiě)出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx+1與x軸交于兩點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BDCA拋物線交于點(diǎn)D,求四邊形ACBD的面積;
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,則求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

正常水位時(shí),拋物線拱橋下的水面寬為20m,水面上升3m達(dá)到該地警戒水位時(shí),橋下水面寬為10m.
(1)在恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中求出水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果水位以0.2m/h的速度持續(xù)上漲,那么達(dá)到警戒水位后,再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間此橋孔將被淹沒(méi)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(5,3).
(1)求m的值和拋物線的解析式;
(2)求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集(直接寫(xiě)出答案);
(3)若拋物線與y軸交于C,求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

問(wèn)題背景:
若矩形的周長(zhǎng)為1,則可求出該矩形面積的最大值.我們可以設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x,面積為s,則s與x的函數(shù)關(guān)系式為:s=-x2+
1
2
x
(x>0),利用函數(shù)的圖象或通過(guò)配方均可求得該函數(shù)的最大值.
提出新問(wèn)題:
若矩形的面積為1,則該矩形的周長(zhǎng)有無(wú)最大值或最小值?若有,最大(。┲凳嵌嗌?
分析問(wèn)題:
若設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為x,周長(zhǎng)為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為:y=2(x+
1
x
)
(x>0),問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大(小)值了.
解決問(wèn)題:
借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),探索函數(shù)y=2(x+
1
x
)
(x>0)的最大(。┲担
(1)實(shí)踐操作:填寫(xiě)下表,并用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y=2(x+
1
x
)
(x>0)的圖象:
x1/41/31/21234
y
17
2
20
3
545
20
3
17
2
(2)觀察猜想:觀察該函數(shù)的圖象,猜想當(dāng)x=______時(shí),函數(shù)y=2(x+
1
x
)
(x>0)有最______值(填“大”或“小”),是______.
(3)推理論證:?jiǎn)栴}背景中提到,通過(guò)配方可求二次函數(shù)s=-x2+
1
2
x
(x>0)的最大值,請(qǐng)你嘗試通過(guò)配方求函數(shù)y=2(x+
1
x
)
(x>0)的最大(。┲,以證明你的猜想.〔提示:當(dāng)x>0時(shí),x=(
x
)2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知矩形OACB的邊OA,OB分別在x軸上和y軸上,線段OA,OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-18x+72=0的兩個(gè)根,且OA>OB;點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA邊勻速移動(dòng),點(diǎn)M從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO邊勻速移動(dòng).如果點(diǎn)P,點(diǎn)M同時(shí)出發(fā),它們移動(dòng)的速度相同,設(shè)OP=x(0≤x≤6),設(shè)△POM的面積為y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)連接矩形的對(duì)角線AB,當(dāng)x為何值時(shí),以P,O,M為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似;
(3)當(dāng)△POM的面積最大時(shí),將△POM沿PM所在直線翻折后得到△PDM,試判斷D點(diǎn)是否在矩形的對(duì)角線AB上,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案