Question

我們給出如下定義：三角形三條中線的交點(diǎn)稱為三角形的重心．一個(gè)三角形有且只有一個(gè)重心．可以證明三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．
可以根據(jù)上述三角形重心的定義及性質(zhì)知識(shí)解答下列問題：
如圖，∠B的平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直，并且BE=AD=4
（1）猜想AG與GD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）求△ABC的三邊長(zhǎng)．

Answer 1

（1）解法1：AG=GD…（1分）
∵BE平分∠B，
∴∠ABG=∠DBG，
∵BG⊥AD，BG=BG，
∴∠BGA=∠BGD，
∴△ABG≌△DBG，
∴AG=GD，AB=BD；…（2分）
解法2：AG=GD．
∵BE平分∠B，
∴∠ABG=∠DBG，
∵BG⊥AD，BG=BG，
∴∠BGA=∠BGD，
∴△ABG≌△DBG，
∴AG=GD…（2分）

（2）解法1：如圖一，延長(zhǎng)BA到F，使AF=BA，則△BFC是等腰三角形…（4分）
∵AD是BC的中線，
∴AD是△BFC的一條中位線，
延長(zhǎng)BE交CF于H點(diǎn)，則BH垂直平分FC，
∴E是△BFC的重心，…（5分）
∴AE=

1

2

EC，EH=

1

2

BE=

1

2

×4=2，
∵HC=

1

2

FC=AD=4，
∴在Rt△BHC中，BC=

BH2+HC2

=2

13

…（6分）
AB=BD=

1

2

BC=

13

…（7分）
∵在Rt△EHC中，EC=

EH2+HC2

=

22+42

=2

5

，
∴AC=AE+EC=3

5

．
解法2：如圖二，從點(diǎn)C作CH∥AD與BE的延長(zhǎng)線交于H…（3分）
∵GD∥HC，
∴△BGD∽△BHC
∴

BD

BC

=

BG

BH

=

GD

HC

=

1

2

，
∴D是BC的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，也是BH的中點(diǎn)
∵GD=2
∴HC=4，BG=GH
設(shè)BG=x，則GE=4-x，EH=2x-4
∵AG∥HC
∴△AGE∽△CHE
∴

AG

HC

=

GE

EH

=

1

2

，即

4-x

2x-4

=

1

2

，
解出x=3…（5分）
∴在Rt△BHC中，BC=

BH2+HC2

=

62+42

=2

13

…（6分）
AB=BD=

1

2

BC=

13

，…（7分）
∵GE=1，EH=2，
∴在Rt△AGE中，AE=

AG2+GE2

=

22+12

=

5

，
∵EC=2AE=2

5

∴AC=3

5

．…（8分）