Question

如圖，在中，AB=AC=10cm， BC=16cm，DE=4cm．線段DE（端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始）沿BC邊以1cm／s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作EF∥AC交AB于點(diǎn)F，連接DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）用含t的代數(shù)式表示線段EF的長度為    ；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，試說明理由．
（3）設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，請直接寫出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN所掃過的圖形的面積．

Answer 1

（1）；（2）、或秒；（3）cm²

試題分析：（1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得EF的長；
（2）分三種情況討論：①當(dāng)DF=EF時(shí)，②當(dāng)DE=EF時(shí)，③當(dāng)DE=DF時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求得答案；
（3）首先設(shè)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，可證得點(diǎn)B，N，P共線，即可得點(diǎn)N沿直線BP運(yùn)動(dòng)，MN也隨之平移，設(shè)MN從ST位置運(yùn)動(dòng)到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形，然后求得?PQST的面積即為MN所掃過的面積．
（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得.
（2）分三種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，有

∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴…
②當(dāng)時(shí)

∴，解得：
③當(dāng)時(shí)，有

∴△DEF∽△ABC.
∴，即，解得：.
綜上所述，當(dāng)、或秒時(shí)，△為等腰三角形；
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，MN所掃過的圖形的面積為cm² 
設(shè)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，
∵∥∴△∽△.
∴  ∴
又 ∴△∽△∴
∴點(diǎn)沿直線BP運(yùn)動(dòng)，MN也隨之平移.
如圖，設(shè)MN從ST位置運(yùn)動(dòng)到PQ位置，
則四邊形PQST是平行四邊形.
∵、分別是、的中點(diǎn)，∴∥DE，且ST=MN=
分別過點(diǎn)T、P作TK⊥BC，垂足為K，PL⊥BC，垂足為L，延長ST交PL于點(diǎn)R，則四邊形TKLR是矩形.

當(dāng)t=0時(shí)，EF=（0+4）=TK=EF···
當(dāng)t=12時(shí)，EF=AC=10，PL=AC··10·
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-
∴S＝ST·PR=2×即整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，MN所掃過的圖形的面積為cm²．
點(diǎn)評：此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握分類討論思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．