Question

15．如圖，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點，連接BC，且OC=$\frac{3}{4}$OB．

（1）求點A的坐標及直線BC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點M在x軸上，連接MB，當∠MBA+∠CBO=45°時，求點M的坐標；
（3）若點P在x軸上，平面內(nèi)是否存在點Q，使點B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B、C三點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可．
（2）當點M在點A的左邊時，可以證明BC=BM，OC=OM=3，推出M（3，0），作點M關(guān)于直線AB的對稱點N，作直線BN交x軸于M₁，則∠M₁BA=∠MBA，點M₁滿足條件，求出直線BN的解析式即可解決問題．
（3）畫出圖形，分兩種情形討論即可①當BC為菱形的邊時，四邊形CP₁Q₁B，四邊形CP₃Q₃B，四邊形BCQ₂P₂是菱形，②當BC是菱形的對角線時，四邊形CP₄BQ₄是菱形．

解答 解：（1）對于直線y=-x+4，令x=0的y=4，令y=0得x=4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OB=OA=4，
∵OC=$\frac{3}{4}$OB，
∴OC=3，
∴C（-3，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4．

（2）如圖1中，

當點M在點A的左邊時，
∵OB=OA=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∴∠CBO+∠MBA=∠MBA+∠MBO=45°，
∴∠CBO=∠OBM，
∵∠CBO+∠BCO=90°，∠BMO+∠OBM=90°，
∴∠BCO=∠BMO，
∴BC=BM，OC=OM=3，
∴M（3，0），
作點M關(guān)于直線AB的對稱點N，作直線BN交x軸于M₁，則∠M₁BA=∠MBA，點M₁滿足條件．
∵N（4，1），B（0，4），
∴直線BN的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+4，令y=0，得x=$\frac{16}{3}$，
∴M₁（$\frac{16}{3}$，0），
綜上所述，滿足條件的點點M的坐標為（3，0）或（$\frac{16}{3}$，0）．

（3）如圖2中，

∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
當BC為菱形的邊時，四邊形CP₁Q₁B，四邊形CP₃Q₃B，四邊形BCQ₂P₂是菱形，此時Q₁（-5，4），Q₃（5，4），Q₂（0，4），
當BC是菱形的對角線時，四邊形CP₄BQ₄是菱形，可得Q₄（-$\frac{25}{6}$，4）．
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（-5，4）或（5，4）或（0，-4）或$（{-\frac{25}{6}，4}）$．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，不能漏解，屬于中考�？碱}型．