Question

4．閱讀理解
如圖1，在△ABC中，當DE∥BC時可以得到三組成比例線段：①$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$②$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$③$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$；反之，當對應線段成比例時也可以推出DE∥BC．

理解運用
三角形的內(nèi)接四邊形是指頂點在三角形各邊上的四邊形．
（1）如圖2，已知矩形DEFG是△ABC的一個內(nèi)接矩形，將矩形DEFG延CB方向向左平移得矩形PBQH，其中頂點D、E、F、G的對應點分別為F、B、Q、H，在圖2中畫出平移后的圖形；
（2）在（1）所得圖形中，連接CH并延長交BP的延長線于點R，連接AR，求證：AR∥BC；
綜合實踐
（3）如圖3，某個區(qū)有一塊三角形空地，已知△ABC空地的邊AB=400米、BC=600米，∠ABC=45°；準備在△ABC內(nèi)建設(shè)一個內(nèi)接矩形廣場DEFG（點E、F在邊BC上，點D、G分別在邊AB和AC上），三角形其余部分進行植被綠化，按要求欲使矩形DEFG的對角線EG最短，請在備用圖中畫出使對角線EG最短的矩形？并求出對角線EG最短距離（不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件畫出矩形PBQH即可．
（2）如圖1中，連接CH并延長交BP的延長線于點R，連接AR．由PH∥BC，推出$\frac{PH}{BC}$=$\frac{RH}{RC}$，由DG∥BC，推出$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，由PH=DG，推出$\frac{RH}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，推出AR∥HG，由HG∥BC，即可證明AR∥BC．
（3）如圖2中，作AR∥BC，BR⊥BC，連接CR，作BH⊥CR，過點H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．則四邊形DEFG是矩形，此時矩形的對角線最短．由（2）可知BH=EG，求出BH即可解決問題．

解答 解：（1）矩形PBQH如圖1所示．

（2）如圖1中，連接CH并延長交BP的延長線于點R，連接AR．
∵PH∥BC，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{RH}{RC}$，
∵DG∥BC，
∴$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，
∵PH=DG，
∴$\frac{RH}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，
∴AR∥HG，
∵HG∥BC，
∴AR∥BC．

（3）如圖2中，作AR∥BC，BR⊥BC，連接CR，作BH⊥CR，過點H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．

則四邊形DEFG是矩形，此時矩形的對角線最短．（BH是垂線段，垂線段最短，易證EG=BH，故此時矩形的對角線EG最短）．
在Rt△RBC中，∵BC=600，BR=200$\sqrt{2}$，
∴CR=$\sqrt{B{R}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（200\sqrt{2}）^{2}+60{0}^{2}}$=200$\sqrt{11}$，
∴BH=$\frac{BR•BC}{RC}$=$\frac{200\sqrt{2}•600}{200\sqrt{11}}$=$\frac{600\sqrt{22}}{11}$．
由（2）可知EG=BH=$\frac{600\sqrt{22}}{11}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、平行線分線段成比例定理、勾股定理、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用（2）中的添加輔助線的方法解決問題（3），靈活應用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題．