Question

如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為12的等邊三角形，點(diǎn)P是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)P分別作邊BC，CA，AB的垂線(xiàn)，垂足分別為D，E，F(xiàn)．已知PD：PE：PF=1：2：3，那么四邊形BDPF的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：探究型

分析：先連接AP，BP，CP，根據(jù)S_△ABP+S_△APC+S_△BPC=

1

2

（PD×12+PE×12+PF×12）=S_△ABC與PD：PE：PF=1：2：3，即可求得PD與PF的長(zhǎng)，然后再作FG⊥BC于G，PH∥BC，交FG于H，求得∠FPH=30°，則可求得FH，F(xiàn)G，GD的長(zhǎng)，則可求得四邊形BDPF的面積．

解答：解：連接AP，BP，CP，作FG⊥BC于G，PH∥BC，交FG于H，
∵PD，PE，PF分別垂直于BC，AC，AB，
∴S_△ABP+S_△APC+S_△BPC=

1

2

（PD×12+PE×12+PF×12）=S_△ABC=36

3

，
又∵PD：PE：PF=1：2：3，
∴PD=

3

，PF=3

3

，
∵∠FPH=30°，
∴FH=

3 3

2

，F(xiàn)G=

5 3

2

，GD=HP=

9

2

，
又∵BG=

5

2

，
∴S_{四邊形BDPF}=S_△BFG+S_梯形FGDP=

1

2

FG•BG+

1

2

（FG+PD）•GD=11

3

．
故答案為：11

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，利用等邊三角形三線(xiàn)合一的特點(diǎn)求解是解答此題的關(guān)鍵．