Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，已知OA=4厘米，OC=3厘米，線段OA上一動點D，以1厘米/s的速度從O點出發(fā)向終點A運動，線段AB上一動點E也以1厘米/s的速度從A點出發(fā)向終點B運動．當E點到達終點B后，D點繼續(xù)運動直至到達終點A．
（1）試寫出多邊形ODEBC的面積S（平方厘米）與運動時間t（s）之間的函數(shù)關系式．
（2）在（1）的條件下，當多邊形ODEBC的面積最小時，在坐標軸上是否存在點P，使△PDE為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在某一時刻將△BED沿著BD翻折，使點E恰好落在BC邊的點F上．求出此時時間t的值．若此時在x軸上存在一點M，在y軸上存在一點N，使四邊形MNFE的周長最小，試求出此時點M、N的坐標．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）分為兩種情況：當0≤t＜3時，求出OD=t，AD=4-t，AE=t，求出面積即可；當3≤t≤4時，E點運動至B點，求出面積即可；
（2）當0≤t＜3時，求出當t=2時，S_最小=10，當3≤t≤4時，求出當t=3時，S最小=

21

2

，得出當t=2時，S_最小=10
求出此時AD=2，AE=2，分為兩種情況：①當P點在x軸上時，求出DE的長，分為PE=PD，DP=DE=2

2

，ED=EP=2

2

三種情況，求出即可；②當P點在y軸上時，分為PE=PD、DP=DE=2

2

、ED=EP=2

2

三種情況，關鍵等腰三角形性質求出即可；
（3）設AE=t，BE=3-t，BF=BE=3-t，AD=4-t，CF=4-BF=t+1．過D作DQ⊥BC于Q，則CQ=OD=t，QF=CF-CQ=1，得出方程（4-t）²+t²=10，求出t的值，求出E、F坐標，作點E關于x 軸的對稱點E?為（4，-1），點F關于y軸的對稱點F?為（-2，4），則直線E?F?與x軸、y軸的交點就是點M、點N，求出即可．

解答：解：（1）當0≤t＜3時，
∵OD=t，
∴AD=4-t，AE=t，
S五邊形=4×3-

1

2

t(4-t)=

1

2

t2-2t+12；
當3≤t≤4時，E點運動至B點，S五邊形=

1

2

×3(4+t)=

3

2

t+6；

（2）存在．
當0≤t＜3時，S=

1

2

t2-2t+12=

1

2

(t-2)2+10，即當t=2時，S_最小=10，
當3≤t≤4時，當t=3時，S最小=

21

2

，
綜上所述，當t=2時，S_最小=10
此時AD=2，AE=2
①當P點在x軸上時，此時DE=

AD2+AE2

=2

2

；
當PE=PD時，點P與A點重合，即P（4，0）；
當DP=DE=2

2

時，P(2-2

2

，0)或P(2+2

2

，0)；
當ED=EP=2

2

時，有AD=AP=2，此時P（6，0）；

②當P點在y軸上時，
當PE=PD時，有AP是DE的中垂線，
則OA=OP=4，即P（0，4）；
當DP=DE=2

2

時，OP=

DP2-OD2

=2，即P（0，2）；
當ED=EP=2

2

時，由于EC=

BC2-BE2

=

15

＞2

2

，則這種情況不成立．
綜上所述，滿足條件的P點共有6個．

（3）設AE=t，則BE=3-t，BF=BE=3-t，AD=4-t，CF=4-BF=t+1．
過D作DQ⊥BC于Q，則CQ=OD=t，QF=CF-CQ=1，
∴DF²=DQ²+QF²=3²+1=10，
又∵DF=DE，
∴（4-t）²+t²=10，
解得t₁=1，t₂=3（不合題意，舍去），
此時，點E（4，1），點F（2，3），
則點E關于x 軸的對稱點E?為（4，-1），點F關于y軸的對稱點F?為（-2，3），
則直線E?F?與x軸、y軸的交點就是點M、點N，
設直線E?F?為y=kx+b，則

4k+b=-1 -2k+b=3

，解得，

k=- 2 3 b= 5 3

∴線E?F?為y=-

2

3

x+

5

3

．
∴M（

5

2

，0），（0，

5

3

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)，軸對稱性質，二次函數(shù)的最值等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，綜合性比較強，難度偏大．