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(2013•鹽城模擬)如圖(1),分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系(O、C、F三點在x軸正半軸上).若⊙P過A、B、E三點(圓心在x軸上)交y軸于另一點Q,拋物線y=
14
x2+bx+c
經過A、C兩點,與x軸的另一交點為G,M是FG的中點,B點坐標為(2,2).
(1)求拋物線的函數解析式和點E的坐標;
(2)求證:ME是⊙P的切線;
(3)如圖(2),點R從正方形CDEF的頂點E出發(fā)以1個單位/秒的速度向點F運動,同時點S從點Q出發(fā)沿y軸以5個單位/秒的速度向上運動,連接RS,設運動時間為t秒(0<t<1),在運動過程中,正方形CDEF在直線RS下方部分的面積是否變化?若不變,說明理由并求出其值;若變化,請說明理由;
分析:(1)根據點B的坐標以及正方形的性質求出點A、C的坐標,然后利用待定系數法求二次函數解析式解答;根據垂徑定理可得圓心P為AB的垂直平分線與x軸的交點,連接PE、PA,根據勾股定理表示出PA2,設正方形CDEF的邊長為a,表示出PF,然后在Rt△PEF中,利用勾股定理列式進行計算即可求出a的值,然后求出OF,即可得到點E的坐標;
(2)令y=0,利用拋物線解析式求出點G的坐標,然后得到點M的坐標,再求出FM、PM,然后利用勾股定理逆定理判定PE⊥EM,再根據切線的定義得證;
(3)表示出點S、R的坐標,然后利用待定系數法求一次函數解析式求出直線SR的解析式,再求出SR與CD的交點坐標,然后根據梯形的面積公式列式進行計算即可求出正方形CDEF在直線RS下方部分的面積為定值.
解答:(1)解:B點坐標為(2,2),四邊形OABC是正方形,
∴點A(0,2),C(2,0),
∵拋物線y=
1
4
x2+bx+c經過點A、C,
c=2
1
4
×4+2b+c=0
,
解得
b=-
3
2
c=2
,
∴拋物線解析式為y=
1
4
x2-
3
2
x+2;
根據垂徑定理,AB的垂直平分線與x軸的交點為圓心P,即P(1,0),
如圖,連接PE、PA,則PE2=PA2=OA2+OP2=22+12=5,
設正方形CDEF的邊長為a,
則PF=a+1,
在Rt△PEF中,PE2=PF2+EF2,
即5=(a+1)2+a2,
整理得,a2+a-2=0,
解得a1=1,a2=-2(舍去),
∴OF=OC+CF=2+1=3,
∴點E的坐標為(3,1);

(2)證明:令y=0,則
1
4
x2-
3
2
x+2=0,
整理得,x2-6x+8=0,
解得x1=2,x2=4,
∴點G的坐標為(4,0),
∴點M是FG的中點,
∴點M(3.5,0),
∴FM=3.5-3=0.5,
PM=3.5-1=2.5,
在Rt△EFM中,EM2=EF2+FM2=12+0.52=
5
4

∴PE2+EM2=5+
5
4
=
25
4
,
∵PM2=2.52=
25
4

∴PE2+EM2=PM2,
∴△PEM是直角三角形,且PE⊥EM,
∴ME是⊙P的切線;

(3)解:不變,面積為
1
2

理由如下:∵圓心P在x軸上,點A的坐標為(0,2),
∴點Q的坐標為(0,-2),
∵點R的速度為1個單位/秒,點S的速度為5個單位/秒,
∴點R(3,1-t),S(0,5t-2),
設直線RS的解析式為y=mx+n,
3m+n=1-t
n=5t-2
,
解得
m=-2t+1
n=5t-2

所以,直線RS的解析式為y=(-2t+1)x+5t-2,
當x=2時,y=(-2t+1)×2+5t-2=-4t+2+5t-2=t,
又∵RF=1-t,
∴正方形CDEF在直線RS下方部分的面積=
1
2
[t+(1-t)]×1=
1
2
,與t無關,是定值,
即正方形CDEF在直線RS下方部分的面積不變,為
1
2
點評:本題是二次函數綜合題型,主要考查了正方形的性質,待定系數法求函數解析(包括二次函數解析式,一次函數解析式),勾股定理的應用,圓的切線的判定,(3)的求解較為巧妙,利用直線RS的解析式確定與CD的交點是解題的關鍵.
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1
2
,則點A′的坐標為
(-
1
2
,2)
(-
1
2
,2)

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20%
20%
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12%
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