Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），線段AB=6，sin∠ABC=

2

2

，M為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積；
（3）若點(diǎn)D為線段BM上任一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，可與點(diǎn)M重合），過點(diǎn)D作垂直于x軸的直線x=t，交拋物線于點(diǎn)E，交線段BC于點(diǎn)F．
①求當(dāng)t為何值時，線段DE有最大值？最大值是多少？
②是否存在這樣的點(diǎn)D，使得

ED

FD

=

1

2

？若存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）求出OB的長度，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由sin∠ABC=

2

2

，得出∠ABC=45°，CO=BO=5，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)S_△MCB=S_梯形COHM+S_△MHB-S_△OBC，即可得出△MCB的面積；
（3）①求出直線BM的解析式，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，可得出DE關(guān)于t的表達(dá)式，求出最值即可；
②求出直線BC的解析式，表示出FD的長度，再由

ED

FD

=

1

2

，可得關(guān)于t的方程，解出即可．

解答：解：（1）∵A（-1，0），AB=6，
∴OB=5，
∴B的坐標(biāo)為（5，0），
∵sin∠ABC=

2

2

，
∴∠ABC=45°，
∴CO=BO=5，
∴C的坐標(biāo)是（0，5），
把A、B、C代入得：

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=5

，
解得：

a=-1 b=4 c=5

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x+5；

（2）
∵M(jìn)為頂點(diǎn)，
∴x=-

b

2a

=2，
∴y=9，
∴M的坐標(biāo)為（2，9），
∴S_△BCM=S_△MCB=S_梯形COHM+S_△MHB-S_△OBC=（5+9）×2×

1

2

+（5-2）×9×

1

2

-5×5×

1

2

=15；

（3）①設(shè)BM的解析式為：y=kx+b（k≠0），
將點(diǎn)B、點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得：

5k+b=0 2k+b=9

，
解得：

k=-3 b=15

，
∴y=-3x+15，
∵EF⊥AB，
∴x_E=x_D=t，
∴ED=-t²+4t+5-（-3t+15）=-t²+7t-10，
∴t=-

b

2a

=3.5，
∴ED_最大=

9

4

；
②設(shè)BC的解析式為：y=mx+n（m≠0），
將點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：

5m+n=0 n=5

，
解得：

m=-1 n=5

，
∴y=-x+5，
∴ED=-t²+7t-10，F(xiàn)D=-2t+10，
當(dāng)

ED

FD

=

1

2

時，2（-t²+7t-10）=-2t+10，
解得：t₁=3，t₂=5（與B重合舍去），
∴D的坐標(biāo)為（3，6）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積及配方法求二次函數(shù)的最值，同學(xué)們需要培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識融會貫通．