Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形CFED．設(shè)FC與AB交于點H，且A（0，n）（n＞0），且3OA=2OC（如圖）．
（1）當α=60°時，求直線FC的解析式；
（2）若矩形OCBA的對稱中心M，請?zhí)骄浚寒斝�轉(zhuǎn)α角滿足什么條件時，經(jīng)過點M，且以點B為頂點的拋物線經(jīng)過點D？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）先求出OC的長，寫出點C的坐標，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CF=OC，過點F作FG⊥OC于G，解直角三角形求出FG、CG的長，然后求出OG的長度，從而得到點F的坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點M的坐標，再求出點B的坐標，然后利用頂點式形式求出拋物線的解析式，過點D作DN⊥x軸于N，易得∠CDN=α，然后解直角三角形求出CN、DN，再求出ON，然后寫出點D的坐標，然后把點D的坐標代入拋物線解析式得到關(guān)于α的三角函數(shù)的方程，求解即可得到α的值．

解答：解：（1）∵A（0，n），3OA=2OC，
∴OC=

3

2

n，
∴點C的坐標為（

3

2

n，0），
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CF=OC=

3

2

n，
過點F作FG⊥OC于G，
則FG=CF•sin60°=

3

2

n•

3

2

=

3 3

4

n，
CG=CF•cos60°=

3

2

n•

1

2

=

3

4

n，
∴OG=OC-CG=

3

2

n-

3

4

n=

3

4

n，
∴點F的坐標為（

3

4

n，

3 3

4

n），
設(shè)直線FC的解析式為y=kx+b，
則

3 2 nk+b=0 3 4 nk+b= 3 3 4 n

，
解得

k=- 3 b= 3 3 2 n

，
∴直線FC的解析式為y=-

3

x+

3 3

2

n；

（2）∵A（0，n），C（

3

2

n，0），
∴矩形OCBA的對稱中心M的坐標為（

3

4

n，

1

2

n），
點B的坐標為（

3

2

n，n），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-

3

2

n）²+n，
把點M的坐標代入得，a（

3

4

n-

3

2

n）²+n=

1

2

n，
解得a=-

8

9n

，
所以，拋物線解析式為y=-

8

9n

（x-

3

2

n）²+n，
過點D作DN⊥x軸于N，易得∠CDN=∠OCF=α，
∴CN=nsinα，DN=ncosα，
∴ON=OC+CN=

3

2

n+nsinα，
∴點D的坐標為（

3

2

n+nsinα，ncosα），
代入拋物線解析式得，-

8

9n

（

3

2

n+nsinα-

3

2

n）²+n=ncosα，
整理得，8sin²α+9cosα-9=0，
∵sin²α+cos²α=1，
∴sin²α=1-cos²α，
∴8cos²α-9cosα+1=0，
解得cosα=

1

8

或cosα=1，
當cosα=1時，α=0，
∴cosα=1舍去，
因此，當旋轉(zhuǎn)α角滿足cosα=

1

8

時，經(jīng)過點M，且以點B為頂點的拋物線經(jīng)過點D．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)的運算，（2）表示出點D的坐標并代入拋物線解析式進行計算難度較大，計算時要用到sin²α+cos²α=1的性質(zhì)．