Question

如圖，拋物線y=2x²-4mx+m²-1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)與直線y=-x+m+2相交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）求拋物線和直線的解析式；
（3）如果（2）中拋物線的對(duì)稱軸與直線交于C點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，直線與x軸交于A點(diǎn)，P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D．請(qǐng)問(wèn)：點(diǎn)P分別在x軸上方或下方時(shí)，是否存在這樣的位置，使S_△PAD=

1

4

S_△ABC？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線過(guò)原點(diǎn)，那么m²-1=0，由此可求出m的值，根據(jù)對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)可將不合題意的m值舍去．
（2）根據(jù)（1）的m的值即可求出拋物線和直線的解析式．
（3）用點(diǎn)到直線距離公式，設(shè)P（1，t），CP=|2-t|，結(jié)合面積之間的關(guān)系求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
所以m²-1=0，m=±1，
而對(duì)稱軸在y軸右邊，
所以x=-

b

2a

=

4m

4

=m＞0，
所以m=1．

（2）拋物線的解析式為y=2x²-4x，直線的解析式為y=-x+3．

（3）存在．設(shè)P（1，t），CP=|2-t|
PD=

2

2

CP
設(shè)PD的表達(dá)式y(tǒng)=x+b，代入P，求出b=t-1
所以y=x+（t-1），
用點(diǎn)到直線距離公式算AD=

2

2

|2+t|
S_△PAD=

1

2

PD•AD
P₁（1，

6

） P₂（1，-

6

） P₃（1，

2

） P₄（1，-

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．