Question

如圖，拋物線y=x²+2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線y=x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在線段AD上任意取一點(diǎn)E（不與A、D重合），經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的圓交直線AC于點(diǎn)F，試判斷△BEF的形狀．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式就可以求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）連接BE、BF、EF得到△BEF，由拋物線y=x²+2x-3可以得出A（-3，0），C（0，3），由直線y=x+3與y軸的交點(diǎn)是D可以求出D（0，3），可以求出∠EAB=∠FAB=45°，根據(jù)圓周角定理可以求得∠EAB=∠EFB=∠FAB=∠FEB=45°，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）²-4
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，-4）
（2）△BEF是等腰直角三角形．
連接BE、BF、EF得到△BEF．
∵y=x²+2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴y=0時(shí)，x²+2x-3=0，求得：
x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴C（0，-3）．
∵直線y=x+3與y軸的交點(diǎn)是D，
∴x=0時(shí)，y=3，
∴D（0，3），
∴OA=OC=OD=3，

∴∠EAB=∠FAB=45°
∵∠EAB=∠EFB，∠FAB=∠FEB
∴∠EFB=∠FEB=45°
∴∠EBF=90°，EB=FB，
∴△BEF是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用二次函數(shù)的解析式求拋物線的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)及判定及圓周角定理的運(yùn)用．