Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與坐標軸交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點，D為頂點．
（1）D點坐標為（

 

，

 

）．
（2）BC=

 

，BD=

 

，CD=

 

，并判斷△BCD的形狀．
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請寫出符合條件的所有點P的坐標，并對其中一種情形說明理由；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用拋物線的頂點公式即可得出D點的坐標；
（2）結合題意，可知可得出B點、C點和點D點的坐標，即可分別得出三個線段的長度，利用向量關系易得，BC⊥CD，即△BCD為直角三角形；
（3）假設存在這樣的點P，經(jīng)分析，有以下幾種情況：①連接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，②過A作AP₁⊥AC交y軸于P₁，可知Rt△CAP₁∽Rt△BCD；③過4C作CP₂⊥AC，交x軸于P₂
可知Rt△P₂CA∽Rt△BCD；結合上述情況，分別可得出對應的P的坐標；

解答：解：（1）D（1，-4）（2分）

（2）結合題意，可得C（0，-3）；B（3，0）
BC=3

2

，BD=2

5

，CD=

2

，
且

CB

=（3，1），

CD

=（1，-3），
可知

CD

•

CD

=0，
即△BCD是直角三角形　　　　　　　　　　　　（6分）

（3）①連接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，符合條件的點為O（0，0）
②過A作AP₁⊥AC交y軸于P₁
可知Rt△CAP₁∽Rt△BCD符合條件的點為P1(0，

1

3

)
③過C作CP₂⊥AC，交x軸于P₂
可知Rt△P₂CA∽Rt△BCD，符合條件的點為P₂（9，0）
∴符合條件的點有三個：O（0，0），P1(0，

1

3

)，P₂（9，0）（12分）

點評：本題主要考查了拋物線方程的頂點公式和相似三角形的判定等知識點，有一定的綜合性．