Question

已知：如圖①，正方形ABCD與矩形DEFG的邊AD、DE在同一直線l上，點(diǎn)G在CD上．正方形ABCD的邊長為a，矩形DEFG的長DE為b，寬DG為3（其中a＞b＞3）．若矩形DEFG沿直線l向左以每秒1個(gè)單位的長度的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D、E始終在直線l上）．若矩形DEFG在運(yùn)動(dòng)過程中與正方形ABCD的重疊部分的面積記作S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒（0≤t≤m），其中S與t的函數(shù)圖象如圖②所示．矩形DEFG的頂點(diǎn)經(jīng)運(yùn)動(dòng)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作D′、E′、F′、G′．
（1）根據(jù)題目所提供的信息，可求得b=

 

，a=

 

，m=

 

；
（2）連接AG′、CF′，設(shè)以AG′和CF′為邊的兩個(gè)正方形的面積之和為y，求當(dāng)0≤t≤5時(shí)，y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值以及y取最小值時(shí)t的值；
（3）如圖③，這是在矩形DEFG運(yùn)動(dòng)過程中，直線AG′第一次與直線CF′垂直的情形，求此時(shí)t的值．并探究：在矩形DEFG繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的過程中，直線AG′與直線CF′是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，請(qǐng)畫出圖形，并求出t的值；否則，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖②的函數(shù)圖象知：從第4-5秒，S的值恒為12，即此時(shí)矩形全部落在正方形的內(nèi)部，由此可求得兩個(gè)條件：①矩形的面積為12，②正方形的邊長為1+DE，根據(jù)這兩個(gè)條件求解即可．
（2）當(dāng)0≤t≤5時(shí)，矩形在直線AB的左側(cè)，可用t表示出AD′、PF′的長，易求得D′G、CP的長，即可用勾股定理求得AG′²、CF′²的值，即可得到y(tǒng)、t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）此題要分五種情況討論：
①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，點(diǎn)E′在D點(diǎn)右側(cè)；由于∠HG′F′、∠HF′G′都是銳角，顯然直線AG′與CF′不可能平行；當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，△G′HF′是直角三角形，易證得△AD′G′∽△CPF′，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求得t的值；
②當(dāng)t=4時(shí)，D、E′重合，此時(shí)直線DC與E′F′重合，顯然此時(shí)AG′與CF′既不平行也不垂直，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行或垂直；
③當(dāng)4＜t＜5時(shí)，矩形在正方形的內(nèi)部，延長G′F′交BC于P，延長AG′交CD于Q，此時(shí)∠CF′P是銳角，所以∠CF′G是鈍角，顯然AG′與CF′不可能垂直；當(dāng)兩直線平行時(shí)，可證得△AD′G′∽△F′PC，進(jìn)而可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求得t的值；
④當(dāng)t=5時(shí)，此種情況與②相同；
⑤當(dāng)5＜t＜9時(shí)，此時(shí)∠QG′F′與∠CF′G′都是鈍角，顯然AG′與CF′不可能平行；當(dāng)兩直線垂直時(shí)，可延長CF′與AG′相交于點(diǎn)M，延長G′F′與CD相交于點(diǎn)P，通過證△AD′G′∽△CPF′來求得此時(shí)t的值．

解答：解：（1）由圖②知：從第4到第5秒時(shí)，S的值恒為12，此時(shí)矩形全部落在正方形的內(nèi)部，
那么矩形的面積為12，即可求得DE=4；
這個(gè)過程持續(xù)了1秒，說明正方形的邊長為：DE+1=5；
由于矩形的速度恒定，所以5～m也應(yīng)該用4秒的時(shí)間，故m=5+4=9；
即：b=4，a=5，m=9．

（2）如圖，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，
∵AD′=5-t，D′G=3，PF′=4-t，CP=2，
∴y=9+（5-t）²+4+（4-t）²，
∴y=2（t-

9

2

）²+

27

2

，
∴當(dāng)t=

9

2

時(shí)，y有最小值，y_最小值=

27

2

．

（3）①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，分別延長AG′和F′C；
如圖，由于∠1和∠2都是銳角，所以∠1+∠2＜180°，
所以AG′與CF′不可能平行．
設(shè)AG′與F′C的延長線交于點(diǎn)H，
當(dāng)∠G′AD′=∠PCF′時(shí)，直線AG′⊥CF′；
∴△AD′G′∽△CPF′，
∴

AD′

CP

=

D′G′

PF′

，
∴

5-t

2

=

3

4-t

，
解得t₁=2，t₂=7（不合題意，舍去）．

②當(dāng)t=4時(shí)，由于點(diǎn)F′在CD上，而點(diǎn)G′不在直線AD上，
因?yàn)锳D⊥CD，所以AG′不可能也垂直于CD
（因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直）．
同樣，由于AB∥CD，而點(diǎn)G′不在直線AB上，
所以t=4時(shí)，AG′也不可能平行于CD（CF′）
（因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行）．

③4＜t＜5時(shí)，延長G′F′交PC于P，延長AG′交CD于Q，
由于∠CF′P是銳角，所以∠CF′G是鈍角，
所以∠CF′G+∠QGF′≠90°，所以AG′與CF′不可能垂直；
當(dāng)∠G′AD′=∠CF′P時(shí)，AG′∥CF′，
易得△AD′G′∽△F′PC，
∴

AD′

F′P

=

D′G′

CP

，
∴

5-t

t-4

=

3

2

，
解得t=4.4．

④當(dāng)t=5時(shí)，AG′與CF′既不可能垂直也不可能平行，理由同②．

⑤當(dāng)5＜t＜9時(shí)，因?yàn)椤螿G′F′與∠CF′G′都是鈍角，
所以∠QG′F′+∠CF′G′＞180°，
所以AG′與CF′不可能平行．
延長CF′與AG′相交于點(diǎn)M，延長G′F′與CD相交于點(diǎn)P；
當(dāng)∠MG′F′+∠MF′G′=90°時(shí)，AG′⊥CF′；
又∵∠AG′D′+∠AG′F′=90°，∠MF′G′=∠CF′P，
∴∠AG′D′=∠CF′P，又∠AD′G′=∠F′PC，
∴△AD′G′∽△CPF′，
∴

AD′

CP

=

D′G′

F′P

，即

t-5

2

=

3

t-4

；
解得：t₁=2（不合題意，舍去），t₂=7；
所以，綜上所述，當(dāng)t=2或t=7時(shí)，直線AG′與直線CF′垂直，當(dāng)t=4.4時(shí)，直線AG′與直線CF′平行．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)以及分段函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．