Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交BC于點D，且∠DAC=∠B．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當BD=5，CD=4時，求AF的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，繼而可判斷AC是⊙O的切線．
（2）根據(jù)（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，繼而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質(zhì)得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長．
（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切線．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已證），
∴，即AC²=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD=，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF=．