Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=$12\sqrt{2}$，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-18，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、E、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，在Rt△BCF中可求得BF和CF，則可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，由△ODG∽△OBA可求得OG和DG，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線DE的解析式；
（3）結(jié)合直線DE的解析式可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出PE、PO和OE的長(zhǎng)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，

在Rt△BCF中，
∵∠BCO=45°，BC=12$\sqrt{2}$，
∴BF=CF=12，
∵C（-18，0），
∴OF=AB=6，
∴B（-6，-12）；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，

∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OG}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵AB=6，OA=12，
∴DG=4，OG=8，
∴D（-4，8），且E（0，4），
設(shè)直線DE解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=8}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=-x+4；
（3）∵點(diǎn)P在直線DE上，
∴可設(shè)P（t，-t+4），
∵E（0，4），O（0，0），
∴PE=$\sqrt{{t}^{2}+（-t+4-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$|t|，PO=$\sqrt{{t}^{2}+（-t+4）^{2}}$=$\sqrt{2{t}^{2}-8t+16}$，EO=4，
∵△OPE為街腰三角形，
∴有PE=PO、PE=OE和PO=EO三種情況，
①當(dāng)PE=PO時(shí)，則$\sqrt{2}$|t|=$\sqrt{2{t}^{2}-8t+16}$，解得t=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；
②當(dāng)PE=OE時(shí)，則$\sqrt{2}$|t|=4，解得t=±2$\sqrt{2}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）；
③當(dāng)PO=EO時(shí)，則$\sqrt{2{t}^{2}-8t+16}$=4，解得t=0（與E重合，舍去）或t=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（2，2）或（2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）或（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中構(gòu)造直角三角形，求得B到兩坐標(biāo)軸的距離是解題的關(guān)鍵，在（2）中構(gòu)造相似三角形求得D點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出PE和OP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．